Enunciado

Se R = 20   Ω , L = 0,6   H , qual o valor de C que torna o circuito:

a) Superamortecido

b) Criticamente amortecido

c) Subamortecido

Passo 1

Beleza, temos aqui um circuito R L C em série, certo? Podemos fazer a Lei de Kirchhoff das tensões nesse circuito e fazer a transformada de Laplace, isso vai nos dar:

R I s + L s I s + 1 C s I s - V s = 0

Substituindo os valores do enunciado:

20 I s + 0,6 s I s + 1 C s I s - V s = 0

Agora vamos colocar I ( s ) em evidência:

I s . 20 + 0,6 s + 1 C s = V ( s )

Multiplicando os dois lados por s :

I s . 0,6 s 2 + 20 s + 1 C = V s . s

I s V s = s 0,6 s 2 + 20 s + 1 C

Passo 2

Os polos vão ser dados pelas raízes de 0,6 s 2 + 20 s + 1 C , certo? Ou seja:

s = - 20 ± 20 2 - 4.0,6 . 1 C 2.0,6

s = - 20 ± 400 - 2,4 . 1 C 1,2

Agora, vamos lembrar um negócio:

Para o circuito ser superamortecido, os polos devem assumir valores reais e distintos

Para ser criticamente amortecido, os polos são iguais

Para ser subamortecido, os polos são complexos, sendo que um é o conjugado do outro

Fechou, bora lá testar esses polos :D

Passo 3

a) Para ser subamortecido, a raíz 400 - 2,4 . 1 C deve ser um número real, e pra que isso aconteça, o número dentro da raíz deve ser maior que 0, ou seja:

400 - 2,4 . 1 C > 0

- 2,4 . 1 C > - 400

2,4 C < 400

C > 2,4 400

C > 6   m F

Passo 4

b) Para ser criticamente amortecido, a raíz 400 - 2,4 . 1 C deve ser 0, e pra que isso aconteça, o número dentro da raíz deve ser 0, ou seja:

400 - 2,4 . 1 C = 0

- 2,4 . 1 C = - 400

2,4 C = 400

C = 2,4 400

C = 6   m F

Passo 5

c) Para ser subamortecido, a raíz 400 - 2,4 . 1 C deve ser um número complexo, e pra que isso aconteça, o número dentro da raíz deve ser negativo, ou seja:

400 - 2,4 . 1 C < 0

- 2,4 . 1 C < - 400

2,4 C > 400

C < 2,4 400

C < 6   m F

Resposta

a) C > 6   m F

b) C = 6   m F

c) C < 6   m F

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