Enunciado

22. Determine o menor valor R M S da onda senoidal deslocada abaixo:

Passo 1

Primeiro, temos que encontrar a expressão de i ( t ) . Analisando a onda, vemos que seu período é π . Logo:

T = π

Como:

ω = 2 π T

Temos então, que:

ω = 2 π π

ω = 2   r a d / s

Além disso, o seu valor de um pico ao outro é 4   A . Portanto, sua amplitude será:

I m = 4 2 = 2   A

Como ele me disse que é uma onda que representa uma corrente, já sabemos que parte da expressão terá o termo abaixo:

2 cos ⁡ ( 2 t )

Pois correntes são dadas em função de cossenos!

Passo 2

Agora, vamos analisar o deslocamento. Para isso, vamos escolher um ponto do gráfico. Por exemplo, a origem ( t = 0 ) . Substituindo na expressão que temos até agora:

2 cos ⁡ 2 t = 2 cos ⁡ ( 0 ) = 2

No gráfico, quando t = 0 a corrente vale zero. Logo, para nossa expressão estar de acordo com a onda do gráfico, precisamos que o seu valor na origem seja zero. Temos duas formas de faze isso:

a )     i t = 2 cos ⁡ ( 2 t ) - 2

b )     i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

Para verificarmos qual é a que corresponde ao gráfico, vamos escolher um novo ponto. Por exemplo, quanto t = π / 2 .

Substituindo em ( a ) :

i t = 2 cos ⁡ ( 2 t ) - 2

i t = 2 cos ⁡ ( π ) - 2

i t = - 4   A

Esse resultado bate bem com o gráfico! Logo a expressão que descreve o gráfico é:

i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor R M S :

I R M S = 1 T ∫ 0 T i 2 d t

I R M S = 1 T ∫ 0 T ( ( 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t ) ) 2 d t

I R M S = 1 T ∫ 0 T ( 4 - 4 cos ⁡ 2 t + 4   c o s 2 2 t ) d t

I R M S = 1 π ∫ 0 T 4 d t + ∫ 0 T 4 cos ⁡ 2 t d t + ∫ 0 T 4   c o s 2 2 t d t

Lembrando que a integral ao longo do período de uma função senoidal é zero:

∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 t d t = 0

e da relação:

c o s 2 a = 1 + cos ⁡ ( 2 a ) 2

Temos que:

I R M S = 1 π ∫ 0 π 4 d t + 0 + ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 4 t 2 d t

I R M S = 1 π 4 π + 4 π 2

I R M S = 6   A

I R M S = 2,449   A

Resposta

I R M S = 2,449   A

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