Enunciado

38. Use a análise de malhas e obtenha I 0 no circuito apresentado na figura 10.82

Passo 1

Fala galerinha! Vamos pra mais um problema sobre circuitos com corrente alternada.

Olha só! A questão foi legal com a gente e já nos deu todos os seus elementos na forma fasorial.

Que beleza, né não! Bora partir logo pra análise de malhas!

Passo 2

Nesse passo, vamos preparar o circuito pra utilizar a nossa análise de malhas. Quando digo preparar, é simplesmente nomear as correntes de malha!

E bora lá reformular esse circuito. Aqui está nossa bela figura:

Antes de partirmos pros cálculos, há uma observação a se fazer.

A corrente de malha I 1 , que nomeamos acima, é dada por 2 ∠ 0 °   A . Podemos ver isso, devido ao fato de que é essa corrente de 2 ∠ 0 °   A , que está circulando livremente no maior ramo dessa malha.

Diante disso... Bora aplicar a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a malha 2 :

10 ∠ 90 ° - j 4 I 2 - I 4 + 2 I 2 - 2 = 0

2 - j 4 I 2 + j 4 I 4 = 4 - j 10

1 - j 2 I 2 + j 2 I 4 = 2 - j 5       ( i )

Depois, bora partir pra análise dessa região envolta por linha pontilhada. Ela é uma supermalha...

1 I 3 + j 2 I 3 - I 1 - j 4 I 4 - I 2 + 1 I 4 = 0

1 I 3 + j 2 I 3 - 2 - j 4 I 4 - I 2 + 1 I 4 = 0

j 4 I 2 + 1 + j 2 I 3 + ( 1 - j 4 ) I 4 = j 4   ( i i )

Agora, bora dar uma olhada naquele nó que chamamos de A . Vamos aplicar a lei das correntes de K i r c h h o f f pra ele:

I 4 = 4 ∠ 0 ° + I 3

I 3 = I 4 - 4

E depois, substituir essa relação nas equações ( i i ) :

j 4 I 2 + 1 + j 2 I 3 + ( 1 - j 4 ) I 4 = j 4

j 4 I 2 + 1 + j 2 ( I 4 - 4 ) + ( 1 - j 4 ) I 4 = j 4

j 2 I 2 + 1 - j I 4 = 2 1 + j 3       ( i i )

Pronto! Temos então, duas equações em termos de I 2 e I 4 .

Passo 3

De forma, que chegamos até o seguinte sistema:

1 - j 2 I 2 + j 2 I 4 = 2 - j 5       ( i ) j 2 I 2 + 1 - j I 4 = 2 1 + j 3       ( i i )

Que pode ser escrito na forma matricial, como:

1 - j 2 j 2 j 2 1 - j ⋅ I 2 I 4 = 2 - j 5 2 + j 6

Mas a questão pede pra gente usar o M a t l a b , né!

Só que a gente não tem! Xiiii

Calma! Não criemos pânico! Como não temos M a t l b a b disponível, vamos usar um outro software bastante comum na graduação dos alunos de engenharia e que se assemelha muito ao M a t l a b . É o O c t a v e   O n l i n e .

Olha só! O sistema matricial anterior é fornecido através de três matrizes. Vamos dar nomes a elas:

A = 1 - j 2 j 2 j 2 1 - j

B = 2 - j 5 2 + j 6  

I = I 2 I 4

A solução desse sistema, que é a matriz I , é dada no O c t a v e   O n l i n e pelo produto da inversa da matriz A pela matriz B . Desse jeito:

I = i n v A * B

Só que temos que adaptar essas matrizes à linguagem desse software.

A matriz A fica assim:

A = [ 1 - 2 j , 2 j ; 2 j , 1 - j ]

E a matriz B :

B = 2 - 5 j ; 2 + 6 j

O O c t a v e   O n l i n e reconhece o j , que é a tradicional notação da forma retangular, como i . Sendo assim, colocando os dados no software, obtemos as seguinte respostas:

I 2 = 3,33333 - j 0,33333   A

I 4 = 1,0000 + j 0,33333   A

E olhando a figura do enunciado e a do P a s s o   1 , podemos ver que a corrente I 0 , é na verdade, a corrente de malha I 2 , dada por:

I 2 = 3,33333 - j 0,33333   A

Colocando no domínio da frequência:

I 0 = ( 3,33333 ) 2 + ( - 0,33333 ) 2 ∠ tan - 1 ⁡ - 0,33333 3,33333   A

I 0 = 3,35 ∠ 174,3 °   A

Resposta

I 0 = 3,35 ∠ 174,3 °   A

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O circuito da Figura P9.30 está em regime permanente senoidal. Determine i 0 ( t ) , se v t = 25 sin ⁡ 4 000 tV .
Determine a expressão de regime permanente para i 0 ( t ) no circuito da Figura P9.28, se v s = 80 cos ⁡ 2000 tV .
O circuito da Figura P9.29 está em regime permanente senoidal. Determine a expressão de regime permanente para v 0 ( t ) , se v g = 6 0 sin ⁡ 8 000 tV .
a) Para o circuito mostrado na Figura P9.31, determine a expressão de regime permanente para v o , se i g = 25 cos ⁡ 50 . 000 tm A b) De quantos microssegundos é a defasagem entre v o e i g ?
O circuito mostrado na Figura P9.35 está em regime permanente senoidal. Determine o valor de ω , se i 0 = 40 sin ⁡ ω t + 21,87 °m A , v g = 40 cos ⁡ ω t - 15 °V .