Enunciado

8.37) Calcule v, se vg = 2e-3tu(t) V.

Passo 1

E aí galerinhaaa!! Vamos resolver essa questão juntinhos, beleza??

Nosso circuito é mostrado abaixo:

Primeiro, levando em consideração que o amplificador é ideal, temos que as tensões nas entradas inversora e não-inversora devem ser iguais.

Começando a analisar o circuito pelo terminal positivo do Amp. Op. verificamos:

v_g = v_C + v_A ( 1 )

Porém,

v_g = 2 e^(- 3 t) u ( t ) ( 2 )

v_A = 3 i_C = 3 C (d v_C)/(d t) ( 3 )

Substituindo (2) e (3) em (1) temos:

2 e^(- 3 t) u ( t ) = v_C + (1)/(2) (d v_C)/(d t) =>

(d v_C)/(d t) + 2 v_C - 4 e^(- 3 t) u ( t ) = 0 ( 4 )

Para t

u (t) = 0

v_g = 0 => v_C = 0 ( 5 )

Para t > 0,

u (t) = 1

Substituindo (d v_C)/(d t) por lambda em (4):

lambda + 2 = 0 =>

lambda = - 2

Logo, a equação que representa v_C ( t ) é:

v_C (t) = A e^(- 2 t) - 4 e^(- 3 t)

Precisamos achar agora o coeficiente A, mas como?? Sem estresse! Basta utilizar a condição dada em (5):

v_C (0) = A e^(- 2 * 0) - 4 e^(- 3 * 0) = 0 =>

A - 4 = 0 => A = 4

Chegamos que:

v_C (t) = 4 e^(- 2 t) - 4 e^(- 3 t) V ( 6 )

Passo 2

Agora, vamos analisar o circuito do terminal inversor do Amp. Op. Fazendo LKC temos:

(v_g - v_A)/(2) + (v - v_A)/(4) = 0 =>

2 v_g - 2 v_A + v - v_A = 0 =>

v = 3 v_A - 2 v_g ( 7 )

Utilizando (1) e (3) em (7) obtemos:

v = 9 C (d v_C)/(d t) - 2 v_C - 6 C (d v_C)/(d t) =>

v = (1)/(2) (d v_C)/(d t) - 2 v_C ( 8 )

Encontrando (d v_C)/(d t) através de (6):

(d v_C)/(d t) = - 8 e^(- 2 t) + 12 e^(- 3 t) ( 9 )

Substituindo (6) e (9) em (8), chegamos por fim, na equação de v(t):

v = - 4 e^(- 2 t) + 6 e^(- 3 t) - 8 e^(- 2 t) + 8 e^(- 3 t) =>

v (t) = ( 1 4 e^(- 3 t) - 12 e^(- 2 t) ) u ( t ) V

Prontinhooo, essa teve muito cálculo, mas deu pra pegar a ideia, né? Bora pra mais uma??

Resposta

v (t) = ( 14 e^(- 3 t) - 12 e^(- 2 t) ) u ( t ) V

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