Enunciado

87- Desenvolva as equações de estado para o problema elaborado por você no Problema 16.13 .

Passo 1

No Problema 13 nós colocamos os seguintes valores para o circuito abaixo:

V s = 2 u ( t )   V ; L = 1   H ; C = 1   F ; R 1 = 4   Ω ; R 2 = 2   Ω

E dessa forma vamos selecionar como variáveis de estado a tensão no capacitor V c e a a corrente no indutor que é i l , a nossa entrada é V s   e a saída é V x .

Dessa forma temos a seguinte soma de correntes:

i l = i 1 + i c ( 1 )

A tensão no indutor será dada por:

2 u ( t ) - V x = 1 i l ˙ ( 2 )

A corrente i c pode ser escrita como:

i c = 1 V c ˙

Então V x pela malha da direita pode ser escrita como:

V x = V c + 2 i c

V x = V c + 2   V c ˙

Então com isso tudo podemos escrever a equação ( 1 ) da seguinte forma:

i l = V x 4 + V c ˙

Só que como V x = V c + 2   V c ˙ então:

i l = V c 4 +   3 V c ˙ 2 →   V c ˙ = 2 i l 3 - V c 6

Agora faltar encontrar i l ˙   e para isso temos a equação ( 2 ) que nos dá:

i l ˙ = 2 u t - V x

Só que temos que:

i l = V x 4 + V c ˙ → V x = 4 i l - 4 V c ˙

Só que   V c ˙ = 2 i l 3 - V c 6   então:

i l ˙ = 2 u t - 4 i l + 4 2 i l 3 - V c 6

Então:

i l ˙ = 2 u t - 2 V c 3 - 4 3 i l

Passo 2

Então podemos escrever a equação de entrada da seguinte forma:

V c ˙ i l ˙ = - 1 6 2 3 - 2 3 - 4 3 v c i l + 0 2 u ( t )

E a equação de saída:

V x = V c + 2 i c

V x = V c + 2   V c ˙

V x = V c + 2 2 i l 3 - V c 6

V x = V c 1 - 2 3 + 4 i l 3

V x = V c 3 + 4 i l 3

V x = 1 3 4 3 V c i l

Resposta

V x = 1 3 4 3 V c i l

V c ˙ i l ˙ = - 1 6 2 3 2 3 - 20 3 v c i l + 0 2 u ( t )

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