Enunciado

90- Desenvolva as equações de estado para o circuito mostrado na Figura 16.104

Passo 1

As variáveis de entrada são v 1 e v 2 e as variáveis intermediárias são a tensão no capacitor v c e a corrente que passa pelo indutor i l = i 2 . Desenhando algumas variáveis no circuito nós teremos:

Somando as correntes nós temos:

i 1 = i 2 + i 3 → i 3 = i 1 - i 2

Então a tensão no resistor será:

V R = 2 i 1 - i 2 = 2 i 1 - 2 i 2

A tensão no capacitor será:

v c = v 1 - V R = v 1 - 2 i 1 + 2 i 2

A corrente que passa pelo capacitor será:

i 1 = v c 4 ˙   ( 1 )

E a tensão no indutor será:

V R - v 2 = i 2 ˙

2 i 1 - 2 i 2 - v 2 = i 2 ˙ ( 2 )

Passo 2

O que precisamos escrever na equação de estados é:

i l ˙ v c ˙ = A 11 A 12 A 21 A 22 i l v c + B 11 B 12 B 21 B 22 v 1 v 2

i 1 i 2 = C 11 C 12 C 21 C 22 i l v c + D 11 D 12 D 21 D 22 v 1 v 2

Só que i 2 = i l

Então:

v c = v 1 - 2 v c 4 ˙ + 2 i l

v c ˙ = 2 v 1 - 2 v c + 4 i l

A parte de v c ˙ está arrumada, agora vamos para i l ˙ , juntando ( 1 ) com a equação ( 2 ) temos

i l ˙ = 2 i 1 - 2 i 2 - v 2

i l ˙ = v c 2 ˙ - 2 i 2 - v 2

Só que já sabemos o resultado de v c ˙ :

i l ˙ = 2 v 1 - 2 v c + 4 i l 2 - 2 i l - v 2

i l ˙ = v 1 - v 2 - v c

Então a nossa equação de estado fica:

i l ˙ v c ˙ = 0 - 1 4 - 2 i l v c + 1 - 1 2 0 v 1 v 2

Passo 3

Agora para a equação de saída:

i 2 = i l

i 1 i 2 = C 11 C 12 1 0 i l v c + D 11 D 12 0 0 v 1 v 2

Falta uma equação para i 1 e podemos escrever pela equação de v c ˙   em ( 1 ) :

i 1 = v c 4 ˙ = 2 v 1 - 2 v c + 4 i l 4 = v 1 2 - v c 2 + i l

Então a matriz fica:

i 1 i 2 = 1 - 1 2 1 0 i l v c + 1 2 0 0 0 v 1 v 2

Resposta

i l ˙ v c ˙ = 0 - 1 4 - 2 i l v c + 1 - 1 2 0 v 1 v 2

i 1 i 2 = 1 - 1 2 1 0 i l v c + 1 2 0 0 0 v 1 v 2

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