Aqui está uma quarta maneira de calcular a energia de uma esfera uniformemente carregada: monte a esfera camada por camada, trazendo, de cada vez, uma carga infinitesimal d q de uma grande distância, espalhando-a uniformemente sobre a superfície e, consequentemente, aumentando o raio. Quanto trabalho d W é necessário para aumentar o raio em d r ? Integre isso para encontrar o trabalho necessário para criar a esfera inteira com raio R e carga total q .

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Antes de tudo, vamos visualizar quais são as camadas que o enunciado sugere:

Agora, sobre o cálculo de energia, utilizaremos:

d W = d q - V

=   d q - 1 4 π ϵ 0 q - r   ( q - = c a r g a   n a   e s f e r a   c o m   r a i o   r )

Passo 2

Nesse passo, observaremos a carga q - :

q - = 4 3 π r 3 ρ = q r 3 R 3   ( q = c a r g a   t o t a l   n a   e s f e r a )

d q - = 4 π r 2   d r   ρ = 4 π r 2 4 3 π R 3 q   d r =   3 q R 3 r 2   d r

Passo 3

Agora aplicaremos q - em d W :

d W = 1 4 π ϵ 0   q r 3 R 3   1 r   3 q R 3   r 2   d r = 1 4 π ϵ 0     3 q 2 R 6   r 4   d r

Aplicaremos a integração para encontrar W :

W = 1 4 π ϵ 0     3 q 2 R 6   ∫ 0 R r 4   d r =   1 4 π ϵ 0     3 q 2 R 6   R 5 5 = 1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R