Assim como ∇ ∙ B   = 0 nos permite expressar B como o rotacional de um potencial vetorial ( B   =   V × A ), também ∇ ∙ A   = 0 nos permite expressar o próprio A como o rotacional de um potencial 'mais alto': A   =   V ×   W . (E esta hierarquia pode ser estendida ao infinito.)

  1. Encontre a fórmula geral para W (como uma integral de B), que vale quando B → 0   n o   ∞ .
  2. Determine W para o caso de um campo magnético uniforme B. [Dica: veja o Problema 5.24]
  3. Encontre W dentro e fora de um solenoide infinito. [Dica: veja o Exemplo 5.12.]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Na letra A podemos das relações dadas no enunciado, assim temos que:

∇ ∙ B   = 0 ,   ∇ × B = μ 0 J   e   ∇ ∙ A   = 0 ,   ∇ × A = B      

Assim:

A = μ 0 4 π ∫ J r d τ '

Com isso temos que:

∇ ∙ A   = 0 ,   ∇ × A = B   e   ∇ ∙ W = 0   e   ∇ × W = A

Assim temos que:

W = 1 4 π ∫ B r d τ '  

Passo 2

Como W é proporcional a B e a dois fatores de r. Então podemos tentar algo da forma:

W = α r r ∙ B + β r 2 B

E podemos escolher as constantes α   e   β , de maneira que ∇ ∙ W = 0   e   ∇ × W = A . Assim temos que:

∇ ∙ W = α r ∙ B ∇ ∙ r + ∇ r ∙ B + β r 2 ∇ ∙ B + B ∙ ∇ r 2

Agora temos que:

∇ r = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = 1 + 1 + 1 = 3

∇ r ∙ B = r × ∇ × B + B × ∇ × r + r ∙ ∇ B + ( B ∙ ∇ ) r

Porém temos que o campo magnético é constante e todas as derivadas para B serão nulas, e temos também que ∇ × r = 0 , resultando então em:

∇ r ∙ B = B ∙ ∇ r = B x ∂ ∂ x + B y ∂ ∂ y + B z ∂ ∂ z x x ^ + y y ^ + z z ^

Derivando, temos:

∇ r ∙ B = B x x ^ + B y y ^ + B z z ^

Agora para   ∇ ( r 2 ) , temos:

∇ r 2 = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z x 2 + y 2   + z 2

Derivando, temos:

∇ r 2 = 2 x x ^ + 2 y y ^ + 2 z z ^ = 2 r

Agora voltando em ∇ ∙ W , temos que:

∇ ∙ W = α 3 r ∙ B + r ∙ B + β 0 + 2 r ∙ B = 2 ( r ∙ B ) ( 2 α + β )

Que se anula se 2 α + β = 0 . Agora voltando em ∇ × W , temos:

∇ × W = α r ∙ B ∇ × r - r × ∇ r ∙ B + β [ r 2 ∇ × B - B × ∇ ( r 2 ) ]

Reorganizando a expressão acima, temos que:

∇ × W = α 0 - r × B + β 0 - 2 B × r = - ( r × B ) ( α - 2 β )

Mas sabemos que ∇ × W = A , e que A = - 1 2 ( r × B ) , ou seja α - 2 β = 1 / 2

Resolvendo o sistema, temos que α = 1 10 e   β = - 1 5 , assim podemos expressar W sendo:

W = 1 10 [ r r ∙ B - 2 r 2 B ]

Passo 3

Encontre W dentro e fora de um solenóide infinito, assim temos que:

∇ × W = A → ∫ ∇ × W ∙ d a = ∫ A ∙ d a

Ou melhor temos que:

∮ W ∙ d l = ∫ A ∙ d a

Integrando, temos que:

- W l = ∫ 0 s μ 0 n I 2 l s ' d s ' = μ 0 n I 2 s 2 l 2

Assim temos:

W = - μ 0 n I s 2 4 Z ^ ,   p a r a   s < R

Para s>R, - W l = μ 0 n I R 2 l 4 + ∫ R s μ 0 n I 2 R 2 s ' l d s ' = μ 0 n I R 2 l 4 + μ 0 n I R 2 l 2 l n ⁡ ( s / R )      

Assim:

W = - μ 0 n I R 2 l 4 1 + 2 l n l n   s R   z ^ ,   p a r a   s > R

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

  1. W = 1 4 π ∫ B r d τ '
  2. W = 1 10 [ r r ∙ B - 2 r 2 B ]
  3. W = - μ 0 n I s 2 4 Z ^ ,   p a r a   s < R   e     W = - μ 0 n I R 2 l 4 1 + 2 l n l n   s R   z ^ ,   p a r a   s > R