Assumindo que você exclua a solução não-física do Problema 11.19, calcule

(a) o trabalho realizado pela força externa,

(b) a energia cinética final (assuma que a energia cinética inicial era nula),

(c) a energia total radiada.

Verifique se a energia é conservada neste processo.

Passo 1

Vamos lá!

(a)

W e x t = ∫ F d x = F ∫ 0 T v ( t ) d t

Do Problema 11.19, v t = F m t + τ - τ e t - T / r . Então,

W e x t = F 2 m ∫ 0 T t d t + τ ∫ 0 T d t - τ e - T τ ∫ 0 T e t / τ d t

= F 2 m t 2 2 + τ t - τ e - T τ τ e t / τ ​ 0 T

= F 2 m 1 2 T 2 + τ T - τ 2 e - T τ e T / τ - 1

= F 2 m 1 2 T 2 + τ T - τ 2 + τ 2 e - T / τ

Passo 2

(b) Do Problema 11.19, a velocidade final é

v f = ( F / m ) T

Então,

W c i n = 1 2 m v f 2 = 1 2 m F 2 m 2 T 2 = F 2 T 2 2 m

Passo 3

(c) Temos que W r a d = ∫ P d t . De acordo com a fórmula de Larmor,

P = μ 0 q 2 a 2 6 π c

e do problema 11.19, temos:

a t = F / m 1 - e - T / τ e t / τ ,               t ≤ 0 ; F / m 1 - e t - T / τ ,               0 ≤ t ≤ T .

W r a d = μ 0 q 2 6 π c F 2 m 2 1 - e - T τ 2 ∫ - ∞ 0 e 2 t / τ d t + ∫ 0 T 1 - e t - T τ 2 d t  

= τ F 2 m 1 - e - T τ 2 τ 2 e 2 t / τ ​ - ∞ 0 + ∫ 0 T d t   - 2 e - T / τ ∫ 0 T e t / τ d t + e - 2 T / τ ∫ 0 T e 2 t / τ   d t

= τ F 2 m τ 2 1 - e - T τ 2 + T - 2 e - T τ τ e t τ ​ 0 T + e - 2 T τ τ 2 e 2 t τ ​ 0 T

= τ F 2 m τ 2 1 - 2 e - T τ + e - 2 T / τ + T - 2 τ e - T τ e T τ - 1 + τ 2 e - 2 T τ e 2 T / τ - 1

= τ F 2 m τ 2 - τ e - T τ + τ 2 e - 2 T τ + T - 2 τ + 2 τ e - T τ + τ 2 - τ 2 e - 2 T / τ

= τ F 2 m T - τ + τ e - T / τ

A conservação de energia exige que o trabalho feito pela força externa seja igual à energia cinética final mais a energia irradiada:

W c i n + W r a d = F 2 T 2 2 m + τ F 2 m T - τ + τ e - T / τ

= F 2 m 1 2 T 2 + τ T - τ 2 + τ 2 e - T / τ = W e x t

Resposta

Ver Passos 1, 2 e 3.