Avalie a integral a integral e use o resultado e a definição de transformada de Laplace para calcular a transformada da função .
Passo 1
Começamos calculando a integral indefinida. O método de resolução desta integral é a integração por partes. Seja e . Então e .
Lembrando que o método de resolução por partes é da seguinte maneira: .
Assim,
A constante é necessária porque se trata de uma integral imprópria.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace para a função é:
Substituindo “a” na equação do passo 1 por “– s” na definição da transformada, obtemos:
Aqui cabe uma observação bastante importante: Estamos considerando que . Isso faz com que as 3 últimas frações sejam fáceis de calcular. No entanto, a primeira fração gera um limite indeterminado, do tipo . Para resolver este problema, teremos que reescrever a fração e usar L’Hospital. Assim:
Agora, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito. Assim, podemos usar L’Hospital normalmente. O processo consiste em derivar ambos separadamente:
Temos então um limite cujo numerador é constante e o denominador tende ao infinito. Logo, o limite tende a zero.
A segunda fração em é uma exponencial negativa. Como e , seu valor é 0.
A terceira fração é um produto de 0 por um número finito, logo, seu valor é zero.
A quarta fração é uma exponencial elevada a 0 dividida por uma constante. Assim, esta é a única fração que nos fornece um valor diferente de zero.
Passo 3
Podemos escrever em função dos valores obtidos no passo anterior.