Avalie a integral a integral ∫ t ⋅ e α t   d t e use o resultado e a definição de transformada de Laplace para calcular a transformada da função f t = t .

Passo 1

Começamos calculando a integral indefinida. O método de resolução desta integral é a integração por partes. Seja u = t e d v = e a t d t . Então d u = d t e v = e a t a .

Lembrando que o método de resolução por partes é da seguinte maneira: ∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u .

Assim,

∫ t ⋅ e a t d t = t ⋅ e a t a - ∫ e a t a d t ⇒   ∫ t ⋅ e a t   d t = t ⋅ e a t a - e a t a 2 + C

A constante é necessária porque se trata de uma integral imprópria.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace para a função f t = t é:

L t = ∫ 0 ∞ t ⋅ e - s t   d t =   lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t ⋅ e - s t   d t

Substituindo “a” na equação do passo 1 por “– s” na definição da transformada, obtemos:

L t = lim A → ∞ ⁡ t ⋅ e - s t - s - e - s t ( - s ) 2   t = 0 t = A = lim A → ∞ ⁡ A ⋅ e - s ⋅ A - s - e - s ⋅ A s 2 - 0 ⋅ e - 0 ⋅ s - s + e - 0 ⋅ s s 2                       (1)

Aqui cabe uma observação bastante importante: Estamos considerando que s > 0 . Isso faz com que as 3 últimas frações sejam fáceis de calcular. No entanto, a primeira fração gera um limite indeterminado, do tipo ∞ ⋅ 0 . Para resolver este problema, teremos que reescrever a fração e usar L’Hospital. Assim:

lim A → ∞ ⁡ A ⋅ e - s ⋅ A - s = - 1 s   ⋅ lim A → ∞ ⁡ A e s ⋅ A  

Agora, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito. Assim, podemos usar L’Hospital normalmente. O processo consiste em derivar ambos separadamente:

- 1 s ⋅ lim A → ∞ ⁡ A e s ⋅ A   ⇒ H - 1 s ⋅ lim A → ∞ ⁡ 1 s ⋅ e s ⋅ A

Temos então um limite cujo numerador é constante e o denominador tende ao infinito. Logo, o limite tende a zero.

A segunda fração em 1   é uma exponencial negativa. Como s > 0 e A → ∞ , seu valor é 0.

A terceira fração é um produto de 0 por um número finito, logo, seu valor é zero.

A quarta fração é uma exponencial elevada a 0 dividida por uma constante. Assim, esta é a única fração que nos fornece um valor diferente de zero.

Passo 3

Podemos escrever ( 1 ) em função dos valores obtidos no passo anterior.

lim A → ∞ ⁡ A ⋅ e - s ⋅ A - s - e - s ⋅ A s 2 - 0 ⋅ e - 0 ⋅ s - s + e - 0 ⋅ s s 2 = 0 - 0 + 0 + 1 s 2 = 1 s 2

Resposta

L t = 1 s 2