Para cada configuração mostrada na Figura 10.106, determine a tensão entre os terminais de cada capacitor assim como a carga.

Figura 10.106

Passo 1

Oi 😉, vamos para uma questão, essa com algumas particularidades, mas vamos resolver com calma 😊.

Da mesma forma que o problema anterior, vamos anotar as relações importantes para o problema:

Passo 2

a) Assim como fizemos no problema 45, vamos reduzir o circuito a um único valor de capacitância (capacitância total) e refazer os passos para determinar as tensões e cargas de cada elemento.

Começaremos então como os capacitores 3 e 4 que estão em série, logo, C 34   é dado por:

C 34 = C 3 ∙ C 4 C 3 + C 4

C 34 = 9   ∙ 72 9 + 72 =   8   μ F

Agora C 34 estará em paralelo com C 2 , logo, C 234 será expresso por:

C 234 = C 34 + C 2

C 234 = 8 + 10 =   18   μ F

Essa junção, resulta em um circuito mais simples, que terá uma fonte e dois capacitores em série ( C 1 e C 234 ), sendo assim a C T será expressa por:

C T = C 234 ∙ C 1 C 234 + C 1

C T = 6   μ F

Sendo a tensão sobre C T correspondente a tensão da fonte.

Passo 3

Agora podemos calcular a carga correspondente ao C T , como:

Q T = C T ∙ E

Q T = 6   ∙ 24 =   144   μ C

Como C T é equivalente a ligação entre C 1 e C 234 , temos que:

𝑸𝟏 Q 1 = 144   μ C

Q 234 = 144   μ C

Passo 4

Agora que já temos algumas informações sobre a carga, podemos calcular a tensão sobre o C 1 , de forma que:

V c 1 = Q 1 C 1 =   144   x   10 - 6 9   x   10 - 6 =   16   V

Agora vamos calcular a tensão sobre C 234 :

V c 234 = Q 234 C 234 =   144   x   10 - 6 18   x   10 - 6 = 8   V

Como C 34 estará em paralelo com C 2 , a tensão sobre eles é a mesma, de forma que podemos escrever:

V c 2 = 8   V

V c 34 = 8   V

Consequentemente, a carga de C 2 corresponderá a:

Q 2 = C 2 ∙ V c 2

Q 2 = 80   μ C

Passo 5

Agora podemos calcular a carga sobre C 34 , pois como C 34 é o equivalente a dois capacitores que estão série, a carga sobre ele, será a carga dos capacitores individualmente.

Q 34 = C 34 ∙ V c 34

Q 34 = 8 ∙ 8 = 64   μ C

Logo,

Q 3 = 64   μ C

Q 4 = 64   μ C

Passo 6

Por fim, a tensão sobre eles é de:

V c 3 = Q 3 C 3 =   64   x   10 - 6 9   x   10 - 6 =   7,11   V

V c 4 = Q 4 C 4 =   144   x   10 - 6 72   x   10 - 6 =   0,89   V

Passo 7

b) Para esse item, vamos trabalhar o mesmo raciocínio, achar C T e fazer o caminho reverso.

Assim temos:

C 1   e m   s é r i e   c o m   C 2   →   C 12 = C 2 ∙ C 1 C 2 + C 1 = 6   μ F

C 4   e m   s é r i e   c o m   C 5   →   C 45 = C 4 ∙ C 5 C 4 + C 5 = 10   μ F

Assim teremos:

C 45   e m   p a r a l e l o   c o m   C 3   →   C 345 = C 3 + C 45 = 12   μ F

Por último:

C 345   e m   s é r i e   c o m   C 12   →   C T = C 345 ∙ C 12 C 345 + C 12 = 4     μ F

Passo 8

Sabemos que a tensão sobre C T é a tensão da fonte, assim podemos calcular a carga de C T .

Q T = C T ∙ E

Q T = 4 ∙ 16 =   64   μ C

Agora vamos fazer o caminho reverso, vamos separar os capacitores novamente.

  C T → C 345   e m   s é r i e   c o m   C 12

Isso implica que:

Q c 345 = Q c 12 = Q T

Logo,

Q c 345 = Q c 12 = 64   μ C

Vamos abrir mais um pouquinho…

C 12 → C 1   e m   s é r i e   c o m   C 2

Então,

Q c 12 = Q c 1 = Q c 2

Agora temos uma informação particular sobre dois capacitores:

Q c 1 = 64   μ C

Q c 2 = 64   μ C

Assim podemos exprimir o valor das tensões sobre os terminais de ambos:

V c 1 = Q 1 C 1 =   64   x   10 - 6 7   x   10 - 6 =   9,14   V

V c 2 = Q 2 C 2 =   64   x   10 - 6 42   x   10 - 6 =   1,52   V

Passo 9

Agora vamos abrir nos circuitos na parte correspondente a C 345 , como sabemos a carga dele, podemos calcular a tensão sobre ele:

V c 345 = Q 345 C 345 =   64   x   10 - 6 12   x   10 - 6 =   5,33   V

Como C 45   e s t á   p a r a l e l o   c o m   C 3 , a tensão sobre eles é a mesma. Logo,

V c 3 = 5,33   V

V c 45 = 5,33   V

Assim, temos:

Q 3 = C 3 ∙ V c 3 =   2   ∙   5,33 =   10,66   μ C

Passo 10

Por fim, temos C 4   e m   s é r i e   c o m   C 5 , isso implica que:

Q c 45 = Q c 4 = Q c 5

Então vamos calcular Q c 45 , já que sabemos quanto vale a tensão para esse conjunto.

Q c 45 = C 45 ∙ V 45

Q c 45 = 10 ∙ 5,33 =   53,3   μ C

Sendo assim,

Q c 4 =   53,3   μ C

Q c 5 =   53,3   μ C

Passo 11

Por fim, temos a tensão sobre os terminais dos capacitores C 4 e C 5 expressar por:

V c 4 = Q 4 C 4 =   53,3   x   10 - 6 14   x   10 - 6 =   3,81   V

V c 5 = Q 5 C 5 =   53,3   x   10 - 6 35   x   10 - 6 =   1,52   V

Resposta

a) Q 1 = 144   μ C ; V c 1 = 16   V ; V c 2 = 8   V ; Q 2 = 80   μ C ; Q 3 = 64   μ C ; V c 3 = 7,11   V ; Q 4 = 64   μ C ; V c 4 =   0,89   V

b) Q c 1 = 64   μ C ; V c 1 = 9,14   V ; Q c 2 = 64   μ C ; V c 2 =   1,52   V ; V c 3 = 5,33   V ; Q 3 =   10,66   μ C ; Q c 4 =   53,3   μ C ; V c 4 =   3,81   V ; Q c 5 =   53,3   μ C ; V c 5 =   1,52   V