Enunciado

Para cada uma das funções periódicas da Figura P16.1, especifiquea) ω o e m radianos por segundob) f 0 e m hertzc) o valor de a e d) as equações para a k e b k e) v ( t ) como uma série de Fourier

Passo 1

E aí galera partiu mais uma questão de circuitos elétricos? Então vem comigo 😊

a) ω o e m radianos por segundo

[a]  ω oa  = 2 π 90 10 6 = 69,813.17 r a d / s

ω o b = 2 π T = 2 π 8 10 6 = 785,398.16 r a d / s

Passo 2

[ b ] f o a = 1 T = 10 6 90 = 11,111.11 H z ; f o b = 1 T = 10 6 8 = 125,000 H z

Passo 3

[ c ] a v a = 0 ; a v b = 2 ( 50 × 1 + 25 × 1 ) 8 = 18.75 V

Passo 4

[ d ] A função periódica na Fig. P16.1(a) é ímpar com simetria de meia onda e quarto de onda. Portanto,

a v = 0 ; a k a = 0  for all  k ; b k a = 0  for  k  até

Para k impar

b k a = 8 T ∫ 0 T / 6   100 s i n ⁡ 2 π k t T d t + 8 T ∫ T / 6 T / 4   50 s i n ⁡ 2 π k t T d t

= 400 T 2 T 2 π k - c o s ⁡ 2 π k t T 0 T / 6 + T 2 π k - c o s ⁡ 2 π k t T T / 6 T / 4 = - 200 π k 2 c o s ⁡ π k 3 - 1 + c o s ⁡ π 2 k - c o s ⁡ π k 3 = 200 π k 2 - c o s ⁡ π k 3 - c o s ⁡ π 2 k V

Uma ve que k é ímpar, c o s ⁡ π k / 2 = 0 .

∴ b k a = 200 π k 2 - c o s ⁡ π k 3 V , k  odd

A função periódica na Fig. P16.1(b) é portanto b k b = 0 para todo k .

a v b = 18.75 V

a k b = 4 T ∫ 0 T / 8   50 c o s ⁡ k ω o t d t + ∫ T / 8 T / 4   25 c o s ⁡ k ω o t d t

+ ∫ T / 4 T / 2   0 c o s ⁡ k ω o t d t

= 4 T 50 k ω o s i n ⁡ k ω o t 0 T / 8 + 25 k ω 0 s i n ⁡ k ω o t T / 8 T / 4 = 50 k π 2 s i n ⁡ k π 4 + s i n ⁡ k π 2 - s i n ⁡ k π 4 = 50 k π s i n ⁡ k π 4 + s i n ⁡ k π 2 V

Passo 5

[e] Para a função periódica em  16.1 ( a )  :

v ( t ) = 200 π ∑ n = 1,3 , 5 ∞   1 n 2 - c o s ⁡ n π 3 s i n ⁡ n ω o t V

Para a função periódica em  16.1 ( b )  :

v ( t ) = 18.75 + 50 π ∑ n = 1 ∞   1 n s i n ⁡ n π 4 + s i n ⁡ n π 2 c o s ⁡ n ω o t V

Resposta

a. 785,398.16 r a d / s

b. 125,000 H z

c. 18.75 V

d. 50 k π s i n ⁡ k π 4 + s i n ⁡ k π 2 V

e.   v ( t ) = 18.75 + 50 π ∑ n = 1 ∞   1 n s i n ⁡ n π 4 + s i n ⁡ n π 2 c o s ⁡ n ω o t V