Enunciado

i ( 0^- ) = 2 A . Calcule w_c ( 0^- ) , w_c ( 0^+ ) .

Passo 1

Iae, meus queridos! Td blzinha?

Primeiro de tudo, vamos separar as informações que a questão nos dá.

A questão nos diz que i ( 0^- ) = 2 A . O que podemos tirar disso?

Se calcularmos a resistência equivalente do circuito e aplicar Lei de Ohm com a fonte, obteremos o mesmo resultado, isso implica que a corrente no capacitor em t = 0^- é 0 A portanto, o capacitor está totalmente carregado.

Sendo assim podemos encontrar w_c ( 0^- ) . Nesse instante, i ( 0^- ) = 2 A , basta aplicarmos a Lei de Ohm no resistor de 4 omega pois compartilha a mesma tensão do capacitor.

U = 4 * 2

U = 8 V .

Para calcular w_c ( 0^- ) :

w_c (0^-) = (C * v ( 0^- ) ²)/(2)

w_c (0^-) = ((1)/(20) * 8 ²)/(2)

w_c (0^-) = 1,6 J .

Tranquilo, né? 😎

Passo 2

Para calcular w_c ( 0^+ ) , vai dar um pouquinho mais de trabalho, mas lembre “Com grandes poderes, vem grandes responsabilidades”.

A função que descreve corrente de um capacitor em sua descarga em um circuito RC é:

i (t) = ((q)/(R C)) e^(- (t)/(R C))

Como vemos, falta uma coisa... encontrar a carga q do capacitor. Então vamos em busca dela! Vamos encontra-la na equação de capacitância.

C = (q)/(V)

q = C * V

q = 0,4 C .

Agora podemos substituir na função da corrente.

i (t) = ((0,4)/(4 * (1)/(20))) e^(- (t)/(4 * (1)/(20)))

i (t) = 2 e^(- 0,2 t) .

Vemos no livro também que:

v (t) = (1)/(C) int i d t + v ( 0 )

v (0^+) = 20 * int ( 2 e^(- 0,2 t) ) d t + 8

v (0^+) = 20 * (- 10 e^(- 0,2 t)) + 8

v (0^+) = 8 - 200 e^(- 0,2 t) .

Por fim, substituímos essa função da função de energia armazenada no capacitor.

w_c (0^+) = (C * v ( 0^+ ) ²)/(2)

w_c (0^+) = ((1)/(20) * ( 8 - 200 e^(- 0,2 t) ) ²)/(2)

w_c (0^+) = (0,05 * ( 1 - 25 e^(- 0,2 t) + 625 e^(- 0 , 4 t) ))/(2)

w_c (0^+) = (1)/(40) - (5 e^(- 0,2 t) + 125 e^(- 0 , 4 t))/(8)

w_c (0^+) = (1 - 2 5 e^(- 0,2 t) + 625 e^(- 0,4 t))/(40) J .

Entendeu?

Resposta

w_c (0^-) = 1,6 J .

w_c (0^+) = (1 - 25 e^(- 0,2 t) + 625 e^(- 0,4 t))/(40) J .

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