Calcule a antitransformada de

(2)/(( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ))

Passo 1

Show de bola, galera!!!! Vamos começar esta seção com uma questão que envolve a antitransformada que contém apenas polos simples. Então, sem mais delongas, vamos lá:

Vamos começar representando a fração dada da seguinte maneira:

F (s) = (2)/(( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )) = (A)/(s + 1) + (B)/(s + 2) + (C)/(s + 3)

Nosso trabalho agora será encontrar estes coeficientes.

Passo 2

Vamos utilizar o método dos resíduos para calcular A , B e C .

A = ((s + 1) F (s)|_s = - 1 = ((2)/((s + 2) (s + 3))|_s = - 1 = (2)/(( - 1 + 2 ) ( - 1 + 3 )) = (2)/(1 * 2)

A = 1

B = ((s + 2) F (s)|_s = - 2 = ((2)/((s + 1) (s + 3))|_s = - 2 = (2)/(( - 2 + 1 ) ( - 2 + 3 )) = (2)/(- 1 * 1)

B = - 2

C = ((s + 3) F (s)|_s = - 3 = ((2)/((s + 1) (s + 2))|_s = - 3 = (2)/((- 3 + 1) (- 3 + 2)) = (2)/(- 2 * (- 1)) = (2)/(2)

C = 1

Assim, podemos escrever F ( s ) como sendo

F (s) = (1)/(( s + 1 )) - (2)/(s + 2) + (1)/(s + 3)

Passo 3

De posse de F ( s ) , podemos encontrar f ( t ) simplesmente comparando os valores da transformada que são tabelados. Como há translações no domínio da frequência, isso nos diz que haverá exponenciais no domínio da frequência, de acordo com a respectiva translação. Assim

f (t) = [e^(- t) - 2 e^(- 2 t) + e^(- 3 t)] u ( t )

Resposta

f (t) = [e^(- t) - 2 e^(- 2 t) + e^(- 3 t)] u ( t )