Calcule a antitransformada de

b ) (s)/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 ))

Passo 1

Ok, ok! Vamos começar essa questão com uma breve polêmica.

Podemos expandir um termo s^2 + k^2 , com k > 0 da seguinte maneira: (s + k i) ( s - k i ) . Então nesta situação, teríamos 4 polos simples, mas complexos. No entanto, fuja desse tipo de situação. Dependendo de seu professor, você deverá expressar a função original em termos de números reais apenas e a equação necessária pra obter a expressão real depois de ter encontrado a transformada é bem cabulosa. Por isso, vamos considerar que podemos expressar o numerador de cada polo como sendo, de maneira genérica, A * s + B .

Passo 2

Considerando o que foi dito na introdução, vamos começar expressando a transformada dada da seguinte maneira:

(s)/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 )) = (A * s + B)/(s^2 + 1) + (C * s + D)/(s^2 + 4)

Agora, vamos juntar as duas frações do lado direito:

(A * s + B)/(s^2 + 1) + (C * s + D)/(s^2 + 4) = ((A s + B) (s^2 + 4) + ( C s + D ) ( s^2 + 1 ))/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 ))

Igualando as frações que possuem o denominador ( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 ) :

(s)/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 )) = ((A s + B) (s^2 + 4) + ( C s + D ) ( s^2 + 1 ))/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 ))

Como os denominadores são iguais, nos resta apenas igualar os numeradores e desenvolver o numerador direito:

s = A s^3 + 4 A s + B s^2 + 4 B + C s^3 + C s + D s^2 + D

s = (A + C) s^3 + (B + D) s^2 + (4 A + C) s + ( 4 B + D )

Passo 3

O que temos que fazer agora é igualar os coeficientes da última equação do passo anterior.

{[[[[A + C = 0],[B + D = 0],[4 A + C = 1]]],[4 B + D = 0]])

As equações que envolvem A e C são diferentes da que envolvem B e D . Assim:

{[[A + C = 0],[4 A + C = 1]]) => A = (1)/(3) ; C = - (1)/(3)

{[[B + D = 0],[4 B + D = 1]]) => B = D = 0

Assim, a expansão em frações parciais é

(s)/(( s^2 + 1 ) ( s^2 + 4 )) = ((1)/(3) * s)/(s^2 + 1) + (- (1)/(3) * s)/(s^2 + 4) = (1)/(3) * (s)/(s^2 + 1) - (1)/(3) * (s)/(s^2 + 2^2)

Passo 4

Finalmente, de posse do valor da transformada separadinha, bonitinha, a gente pode encontrar a função que a originou:

L^(- 1) [(s)/((s^2 + 1) (s^2 + 4))] = (1)/(3) [cos t - cos 2 t] u ( t )

Resposta

L^(- 1) [(s)/((s^2 + 1) (s^2 + 4))] = (1)/(3) [cos t - cos 2 t] u ( t )