Calcule a antitransformada de

(4 ( s^3 - s^2 + 3 s - 15 ))/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 4 s + 13 ))

Passo 1

Vamos simbora, sentar

Escrever, até a mão cansar (5x)...

Vamos começar separando as frações parciais:

(4 ( s^3 - s^2 + 3 s - 15 ))/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 4 s + 13 )) = (A s + B)/(s^2 + 9) + (C s + D)/(s^2 + 4 s + 13)

(4 ( s^3 - s^2 + 3 s - 15 ))/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 4 s + 13 )) = ((A s + B) (s^2 + 4 s + 13) + ( C s + D ) ( s^2 + 9 ))/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 4 s + 13 ))

Uma vez que os denominadores são iguais, podemos trabalhar apenas com os numeradores:

4 (s^3 - s^2 + 3 s - 15) = A s^3 + 4 A s^2 + 13 A s + B s^2 + 4 B s + 13 B + C s^3 + 9 C s + D s^2 + 9 D

4 s^3 - 4 s^2 + 15 s - 60 = (A + C) s^3 + (4 A + B + D) s^2 + (13 A + 4 B + 9 C) s + ( 13 A + 9 D )

Essa igualdade nos leva ao seguinte sistema:

{[[A + C = 4],[4 A + B + D = - 4],[13 A + 4 B + 9 C = 12],[13 B + 9 D = - 60]])

Esse sistema nos leva ao seguinte resultado:

A = 0 ; B = - 6 ; C = 4 ; D = 2

Passo 2

De posse dos coeficientes podemos expressar a transformada da seguinte maneira:

(4 ( s^3 - s^2 + 3 s - 15 ))/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 4 s + 13 )) = - (6)/(s^2 + 9) + (4 s + 2)/(s^2 + 4 s + 13)

Vamos separar a segunda fração em duas e vamos completar o quadrado do denominador:

(4 s + 2)/(s^2 + 4 s + 13) = (4 s)/(s^2 + 4 s + 4 + 9) + (2)/(s^2 + 4 s + 4 + 9) = (4 s)/((s + 2)^2 + 3^2) + (2)/((s + 2)^2 + 3^2)

Agora, perceba que temos uma translação na frequência, visto que o denominador tem s + 2 . Então, como no numerador há um “ s ”, vamos ter que deixa-lo na forma s + 2 .

(4 s)/((s + 2)^2 + 3^2) + (2)/((s + 2)^2 + 3^2) = (4 ( s + 2 - 2 ))/((s + 2)^2 + 3^2) + (2)/((s + 2)^2 + 3^2)

= (4 ( s + 2 ))/((s + 2)^2 + 3^2) - (8)/((s + 2)^2 + 3^2) + (2)/((s + 2)^2 + 3^2) = (4 ( s + 2 ))/((s + 2)^2 + 3^2) - (6)/((s + 2)^2 + 3^2)

Agora, podemos expressar a transformada como

(4 ( s^3 - s^2 + 3 s - 15 ))/(( s^2 + 9 ) ( s^2 + 4 s + 13 )) = - 2 * (3)/(s^2 + 3^2) + (4 (s + 2))/((s + 2)^2 + 3^2) - 2 * (3)/((s + 2)^2 + 3^2)

Passo 3

Agora, podemos finalmente voltar ao domínio do tempo:

f (t) = [- 2 sin 3 t + 4 e^(- 2 t) cos 3 t - 2 e^(- 2 t) sin 3 t] u ( t )

Resposta

f (t) = [- 2 sin 3 t + 4 e^(- 2 t) cos 3 t - 2 e^(- 2 t) sin 3 t] u ( t )