Calcule a antitransformada de

b ) (s + 2)/((s^2 + 2 s + 2) (s + 1)^2)

Passo 1

E aí, pessoal? Tranquilidade? Espero que sim! Vamos começar a resolver essa questãozinha de transformada inversa. Vamos resolvê-la usando frações parciais. Assim:

(s + 2)/((s^2 + 2 s + 2) (s + 1)^2) = (A s + B)/(s^2 + 2 s + 2) + (C)/((s + 1)^2) + (D)/(s + 1)

Passo 2

Em seguida, vamos calcular os coeficientes das frações parciais:

C = ((s + 1)^2 F (s)|_s = - 1 = ((s + 2)/(s^2 + 2 s + 2)|_s = - 1 = (- 1 + 2)/((- 1)^2 + 2 (- 1) + 2) = (1)/(1 - 2 + 2) = (1)/(1)

=> C = 1

D = (d)/(d s) ((s + 1)^2 F (s)|_s = - 1 = (d)/(d s) ([(s + 2)/(s^2 + 2 s + 2)]|_s = - 1

= ((1 * (s^2 + 2 s + 2) - (s + 2) (2 s + 2))/((s^2 + 2 s + 2)^2)|_s = - 1

= ([ (- 1)^2 + 2 (- 1) + 2 ] - ( (- 1) + 2 ) ( 2 (- 1) + 2 ))/([(- 1)^2 + 2 (- 1) + 2]^2)

(1 - 2 + 2 - ( 1 * 0 ))/((1 - 2 + 2)^2) = (1)/(1) => D = 1

Para encontrarmos os demais, vamos usar o método algébrico:

(s + 2)/((s^2 + 2 s + 2) (s + 1)^2) = (A s + B)/(s^2 + 2 s + 2) + (1)/((s + 1)^2) + (1)/(s + 1)

= ((A s + B) (s + 1)^2 + 1 * (s^2 + 2 s + 2) + 1 * ( s^2 + 2 s + 2 ) ( s + 1 ))/((s^2 + 2 s + 2) (s + 1)^2)

= ((A s + B) (s^2 + 2 s + 1) + s^2 + 2 s + 2 + s^3 + s^2 + 2 s^2 + 2 s + 2 s + 2)/((s^2 + 2 s + 2) (s + 1)^2)

= (s + 2)/((s^2 + 2 s + 2) (s + 1)^2)

Já que os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:

s + 2 = A s^3 + 2 A s^2 + A s + B s^2 + 2 B s + B + s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

=> s + 2 = (A + 1) s^3 + (2 A + B + 4) s^2 + (A + 2 B + 6) s + ( B + 4 )

Esta equação nos gera o seguinte sistema:

{[[A + 1 = 0],[2 A + B + 4 = 0],[A + 2 B + 6 = 1],[B + 4 = 2]])

Esse sistema nos gera o seguinte resultado:

A = - 1 e B = - 2

Assim, a transformada pode ser expressada da seguinte maneira:

(s + 2)/((s^2 + 2 s + 2) (s + 1)^2) = (- s - 2)/(s^2 + 2 s + 2) + (1)/((s + 1)^2) + (1)/(s + 1)

Passo 3

Apesar de termos usado frações parciais, ainda precisamos completar o quadrado da primeira fração. Assim:

(- s - 2)/(s^2 + 2 s + 2) + (1)/((s + 1)^2) + (1)/(s + 1) = - (( s + 1 + 1 ))/(s^2 + 2 s + 1 + 1) + (1)/((s + 1)^2) + (1)/(s + 1)

Agora, vamos escrever a primeira fração como duas:

- ((s + 1 + 1))/(s^2 + 2 s + 1 + 1) + (1)/((s + 1)^2) + (1)/(s + 1) = - (s + 1)/((s + 1)^2 + 1) - (1)/((s + 1)^2 + 1) + (1)/((s + 1)^2) + (1)/(s + 1)

Passo 4

Agora, podemos finalmente voltar ao domínio do tempo usando a tabela de transformadas. Vamos escrever primeiro os termos positivos, apenas por uma questão de estética, nada mais que isso:

f (t) = [e^(- t) + t e^(- t) - e^(- t) cos t - e^(- t) sin t] u ( t )

ou

f (t) = [ e^(- t) ( 1 + t - cos t - sin t ) ] u ( t )

Resposta

f (t) = [ e^(- t) ( 1 + t - cos t - sin t ) ] u ( t )