Calcule a antitransformada de

(s^3 - 1)/(s^3 + s)

Passo 1

E aí, suave na nave? Bora começar essa questão. Mas antes, temos que observar que o grau do numerador é igual ao do denominador. Então, temos que fazer a divisão:

F (s) = (s^3 - 1)/(s^3 + s) = 1 + (- 1 - s)/(s ( s^2 + 1 )) = 1 + G ( s )

Assim, o que temos que fazer é encontrar a expansão em frações parciais de G ( s ) .

Passo 2

G (s) = (- 1 - s)/(s ( s^2 + 1 )) = (A)/(s) + (B s + C)/(s^2 + 1)

A = (s * G (s)|_s = 0 = ((- 1 - s)/(s^2 + 1)|_s = 0 = (- 1)/(1) => A = - 1

Vamos reescrever G ( s ) com o valor da variável A para facilitar nossas contas:

G (s) = (- 1 - s)/(s ( s^2 + 1 )) = - (1)/(s) + (B s + C)/(s^2 + 1) = (- (s^2 + 1) + (B s + c) s)/(s ( s^2 + 1 ))

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:

- 1 - s = - s^2 - 1 + B s^2 + C s => - 1 - s = (B - 1) s^2 + C s - 1

Essa igualdade nos leva ao seguinte sistema:

{[[B - 1 = 0],[C = - 1],[- 1 = - 1]])

=> B = 1 e C = - 1

Assim, podemos escrever a transformada como

F (s) = 1 - (1)/(s) + (s - 1)/(s^2 + 1) = 1 - (1)/(s) + (s)/(s^2 + 1) - (1)/(s^2 + 1)

Passo 3

Com a transformada separada em frações bem organizadas desta maneira, fica fácil obter a função que a originou:

f (t) = [delta (t) - 1 + cos t - sin t] u ( t )

Resposta

f (t) = [delta (t) - 1 + cos t - sin t] u ( t )