a) Calcule a densidade de energia (por média temporal) de uma onda eletromagnética plana, em um meio condutor (Equação 9.138). Mostre que a contribuição magnética é sempre dominante. [Resposta: k 2 2 μ ω 2 E 0 2 e - 2 κ z ]

b) Mostre que a intensidade é k 2 μ ω E 0 2 e - 2 κ z .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Os campos magnético e elétrico são dados por:

E → = E 0 e - κ z cos ⁡ k z - ω t + δ E x ^

B → = B 0 e - κ z cos ⁡ k z - ω t + δ E + ϕ y ^

A - A densidade de energia é então, usando estes campos:

u = 1 2 ϵ E 2 + 1 μ B 2

Substituindo os termos de campo magnético e elétrico

u = 1 2 ϵ E 0 2 e - 2 κ z cos 2 ⁡ ( k z - ω t + δ E + 1 μ B 0 2 e - 2 κ z cos 2 ⁡ k z - ω t + δ E + ϕ

A média de tempo da densidade de energia fará a média dos termos de cosseno ao quadrado para 1/2:

u = 1 4 e - 2 κ z ϵ E 0 2 + 1 μ B 0 2 = 1 4 ϵ e - 2 κ z E 0 2 + 1 ϵ μ B 0 2

Passo 2

Agora, vamos entender os conceitos sobre as relações entre os campos, a relação entre as amplitudes do campo elétrico e magnético é:

B 0 E 0 = ϵ μ 1 + σ ω ϵ 2 1 2

Com ele a densidade de energia média é, expressando B 0 em termos de E 0 :

u = 1 4 ϵ E 0 2 e - 2 κ z 1 + 1 + σ ω ϵ 2

O segundo termo é que o colchete é claramente maior que 1, provando que a contribuição magnética sempre domina.

Passo 3

Usando a definição do número de onda k para obter a resposta final:

k = ω ϵ μ 2 1 + σ ω ϵ 2 + 1 1 2

Com isso,

k = 1 + σ ω ϵ 2 + 1 = k 2 ω 2 2 ϵ μ

Logo, nós temos que

u = 1 4 ϵ E 0 2 e - 2 κ z k 2 ω 2 2 ϵ μ

Portanto,

u = k 2 2 μ ω 2 E 0 2 e - 2 κ z

B – A intensidade é I = u v , onde v é a velocidade que onda se propaga, então, simplesmente:

I = u v = u ω k = k 2 μ ω E 0 2 e - 2 κ z

Resposta

a )   u = k 2 2 μ ω 2 E 0 2 e - 2 κ z

b )   I = k 2 μ ω E 0 2 e - 2 κ z