Calcule as expressões para os coeficientes de Fourier de uma função periódica ímpar. Sugestão: use a mesma técnica empregada no texto para deduzir as equações 16.14-16.16.

Passo 1

E aí galera partiu mais uma questão de circuitos elétricos? Então vem comigo 😊

O exercício pede que a gente Calcule as expressões para os coeficientes de Fourier de uma função periódica ímpar

a v = 1 T ∫ t 0 t 0 + T   f ( t ) d t = 1 T ∫ - T / 2 0     f ( t ) d t + ∫ 0 T / 2     f ( t ) d t

Deixe t = - x ,   d t = - d x ,   x = T 2   when   t = - T 2

E   x = 0  quando  t = 0

Portanto 1 T ∫ - T / 2 0   f ( t ) d t = 1 T ∫ T / 2 0   f ( - x ) ( - d x ) = - 1 T ∫ 0 T / 2   f ( x ) d x Portanto a v = - 1 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) d t + 1 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) d t = 0

a k = 2 T ∫ - T / 2 0   f ( t ) c o s ⁡ k ω 0 t d t + 2 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) c o s ⁡ k ω 0 t d t

Passo 2

Novamente, seja t=-x na primeira integral e obtemos

2 T ∫ - T / 2 0   f ( t ) c o s ⁡ k ω 0 t d t = - 2 T ∫ 0 T / 2   f ( x ) c o s ⁡ k ω 0 x d x

Portanto a k = 0  para todo  k

b k = 2 T ∫ - T / 2 0   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t + 2 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t

Usando a substituição t=-x, a primeira integral se torna

2 T ∫ 0 T / 2   f ( x ) s i n ⁡ k ω 0 x d x

Portanto temos  b k = 4 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k w 0 t d t

Resposta

b k = 4 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k w 0 t d t