Calcule a força de atração magnética entre os hemisférios norte e sul de uma casca esférica giratória carregada (Exemplo 4.11)

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Para começar, podemos partir da equação 5.24, expressa abaixo:

F = ∫ K × B a v e d a

Aqui temos que K = σ V ,   o n d e   V = ω R s i n θ ϕ ^ , d a = R 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ e que B a v e = 1 2 ( B i n + B o u t ) . Pela equação 5.68, temos:

B i n = 2 3 μ 0 σ R ω z ^ = 2 3 μ 0 σ R ω ( c o s θ r ^ - sin ⁡ θ θ ^ )

E pela equação 5.67, temos:

B o u t = ∇ × A = ∇ × μ 0 R 4 ω 3  sin ⁡ θ r 2 ϕ ^ = μ 0 R 4 ω 3 1 r s i n θ ∂ ∂ θ sin 2 ⁡ θ r 2 r ^ - 1 r ∂ ∂ r s i n θ r θ ^

= μ 0 R 4 ω σ 3 r 3 2 c o s θ r ^ + s i n θ θ ^ = μ 0 R ω σ 3   2 c o s θ r ^ + s i n θ θ ^ ,   c o m   r = R

Assim temos que:

B a v e = μ 0 R ω σ 6 ( 4 cos ⁡ θ r ^ - s i n θ θ ^ )

Passo 2

Agora podemos voltar em K × B a v e ,   a s s i m :

K × B a v e = σ ω R s i n θ μ 0 R ω σ 6 ϕ ^ × 4 cos ⁡ θ r ^ - s i n θ θ ^

= μ 0 6 σ ω R 2 4 cos ⁡ θ θ ^ - s i n θ r ^ s i n θ

Com isso podemos escolher a componente z para teta e r, assim:

K × B a v e = - μ 0 2 σ ω R 2 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

E por fim temos que:

F z = - μ 0 2 σ ω R 2 R 2 ∫ sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ d ϕ = - μ 0 2 σ ω R 2 2 2 π sin 4 ⁡ θ 4 0 π 2

Assim temos:

F z = - μ 0 π 4 σ ω R 2 2 z ^

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima pessoal!

Resposta

F z = - μ 0 π 4 σ ω R 2 2 z ^