Enunciado

Calcule a frequência de ressonância de cada um dos circuitos da F i g u r a   14.82

Passo 1

Mas uma vez, vamos achar a frequência de ressonância ω 0 pela impedância.

Pela definição, ω 0 ocorre quando a reatância é nula.

Então equacionaremos a impedância como:

Z = R + j X

Para depois equacionar ω 0   .

Se estiver esquecido, lembre que:

Z   = Impedância, e é escrito como um número complexo.

R = Resistência, e é um número Real.

j   = Unidade imaginária - 1 , que é necessária nas deduções.

X = é a Reatância, e é o argumento que acompanha j

Lembre-se tb das propriedades de j nas simplificações!

j = - 1

    j 2 = - 1

1 j = - j  

Passo 2

Impedância será:

Z =   R   ∥     1 j ω C + j ω L

Z = R ⋅     1 j ω C + j ω L R +     1 j ω C + j ω L

Z = - j R ω C + R j ω L R +     - j 1 ω C + j ω L

Z = j ( R ω L - R ω C ) R + j ( ω L - 1 ω C )

Multiplicando pelo conjugado para retirar j do denominador:

Z = j ( R ω L - R ω C ) R + j ( ω L - 1 ω C ) ⋅ R - j ω L - 1 ω C R - j ω L - 1 ω C

Fazendo a distributiva e simplificando algumas coisas:

Z = R j R ω L - R ω C - j j ( R ω L - R ω C ) ω L - 1 ω C R 2 - R j ω L - 1 ω C + R j ω L - 1 ω C + ( ω L - 1 ω C ) 2

Z = j R R ω L - R ω C + ( R ω L - R ω C ) ω L - 1 ω C R 2 + ( ω L - 1 ω C ) 2

Separando real de argumento e separando a fração em duas partes:

Z = ( R ω L - R ω C ) ω L - 1 ω C ⏞ R e a l R 2 + ( ω L - 1 ω C ) 2 + j R R ω L - R ω C ⏞ a r g u m e n t o R 2 + ( ω L - 1 ω C ) 2

Passo 3

Ok, o argumento é a reatância X que iremos igualar a zero, não nos interessa mais a parte real e o valor de Z , o queremos é achar ω 0 .  

R 2 ω L - R 2 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2   = 0

R 2 ω L - R 2 ω C = 0

R 2 ω L = R 2 ω C

ω L = 1 ω C

ω 2 = 1 L C

E finalmente:

ω = ω 0   = 1 L C

The end.

Resposta

ω 0   = 1 L C

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