Calcule x , para t > 0 , se

x^' (t) + x (t) + int_0^t x (tau) e^(tau - t) d tau = 0 ,

x (0) = 1

Passo 1

C’mon, baby! Yes! Thank You!

Ok, Ok! Eu sei que não sou o sósia do Keanu Reeves, mas vamos lá.

O que vamos fazer aqui é jogar essa equação para o domínio do tempo, aproveitando o fato de que a integral apresentada é uma integral de convolução de 2 funções e que no domínio da frequência essa integral se transformará no produto das duas funções. Se não ficou claro essa breve introdução, vamos apresentar um breve formulário de integral de convolução para transformarmos essa equação diferencial numa simples equação ordinária:

f (t) * g (t) = int_0^t f (tau) g (t - tau) d tau

e

L [f (t) * g (t)] = F (s) * G ( s )

Então, a integral dada é a convolução de x ( t ) e e^t :

int_0^t x (tau) e^(tau - t) d tau = int_0^t x (tau) e^(- ( t - tau )) d tau = x (t) * e^(- t)

Além disso, vamos precisar da propriedade da transformada da derivada:

L [f^' (t)] = s F (s) - f ( 0 )

Passo 2

Então, a equação no domínio da frequência é:

s X (s) - x (0) + X (s) + X (s) * (1)/(s + 1) = 0

=> [s + 1 + (1)/(s + 1)] X (s) = 1 => [((s + 1)^2 + 1)/(s + 1)] X (s) = 1

=> X (s) = (s + 1)/((s + 1)^2 + 1)

Passo 3

Essa transformada envolve a translação da função cosseno. Assim, sua função original é muito simples de se obter:

x (t) = [e^(- t) cos t] u ( t )

Resposta

x (t) = [e^(- t) cos t] u ( t )