Enunciado

Calcule a integral de linha da função v = x 2   x ^ + 2 y x   y ^ + y 2   z ^ da origem ao ponto ( 1 ,   1 ,   1 ) através de três rotas diferentes:

  1. 0 ,   0 ,   0 → 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   1 ,   0 → 1 ,   1 ,   1 ;
  2. 0 ,   0 ,   0 → 0 ,   0 ,   1 → 0 ,   1 ,   1 → ( 1 ,   1 ,   1 ) ;
  3. A linha reta, direta;
  4. Qual é a integral de linha em torno do caminho fechado que parte ao longo do caminho ( a ) e volta ao longo do caminho b ?

Passo 1

Fala galera! Vamos lembrar como calculamos uma integral de linha.

∫ a b F γ t ∙ γ ' t d t

Passo 2

  1. 0 ,   0 ,   0 → 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   1 ,   0 → 1 ,   1 ,   1 ;
  2. Primeiro, vemos que são três curvas. Então calcularemos uma integral pra cada curva.

    Começando pela curva de 0 ,   0 ,   0 → ( 1 ,   0 ,   0 ) , vamos parametrizar:

    r t = t ,   0 ,   0     ,         0 ≤ t ≤ 1

    Então:

    r ' t = ( 1 ,   0 ,   0 )

    Agora, usaremos os termos de r t na função v = x 2   x ^ + 2 y x   y ^ + y 2   z ^ dada:

    v r t = t 2 ,   2 ∙ 0 ∙ t ,   0 2 = t 2 ,   0 ,   0

    Assim, nossa integral de linha para será:

    ∫ 0 1 t 2 ,   0 ,   0 ∙ 1 ,   0 ,   0 d t

    ∫ 0 1 t 2 + 0 + 0 d t

    ∫ 0 1 t 2 d t = t 3 3 0 1 = 1 3 3 - 0 3 3 = 1 3

    Para a curva de 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   1 ,   0 :

    r t = 1 ,   t ,   0     ,         0 ≤ t ≤ 1

    r ' t = ( 0 ,   1 ,   0 )

    v r t = 1 2 ,   2 ∙ t ∙ 1 ,   t 2 = 1 ,   2 t ,   t 2

    A integral de linha será:

    ∫ 0 1 1 ,   2 t ,   t 2 ∙ 0 ,   1 ,   0 d t

    ∫ 0 1 2 t d t = 2 t 2 2 0 1 = t 2 0 1 = 1 1 - 0 2 = 1

    Para a curva de 1 ,   1 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) :

    r t = 1,1 ,   t     ,         0 ≤ t ≤ 1

    r ' t = ( 0 ,   0 ,   1 )

    v r t = 1 2 ,   2 ∙ 1 ∙ 1 ,   1 2 = 1 ,   2 ,   1

    A integral de linha será:

    ∫ 0 1 1 ,   2 ,   1 ∙ 0 ,   0 ,   1 d t

    ∫ 0 1 d t = t 0 1 = 1 - 0 = 1

    Logo, nossa integral de linha de 0 ,   0 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) será a soma das integrais de linha dos três caminhos:

    1 3 + 1 + 1 = 1 3 + 3 3 + 3 3 = 7 3

    Passo 3

  3. 0 ,   0 ,   0 → 0 ,   0 ,   1 → 0 ,   1 ,   1 → 1 ,   1 ,   1 ;
  4. Primeiro, vemos que são três curvas. Então calcularemos uma integral pra cada curva.

    Começando pela curva de 0 ,   0 ,   0 → ( 0 ,   0 ,   1 ) , vamos parametrizar:

    r t = 0 ,   0 ,   t     ,         0 ≤ t ≤ 1

    r ' t = ( 0 ,   0 ,   1 )

    Agora, usaremos os termos de r t na função v = x 2   x ^ + 2 y x   y ^ + y 2   z ^ dada:

    v r t = 0 2 ,   2 ∙ 0 ∙ 0 ,   0 2 = 0 ,   0 ,   0

    Assim, nossa integral de linha para será:

    ∫ 0 1 0 ,   0 ,   0 ∙ 0 ,   0 ,   1 d t

    ∫ 0 1 0 + 0 + 0 d t = 0

    Para a curva de 0 ,   0 ,   1 → 0 ,   1 ,   1 :

    r t = 0 ,   t , 1     ,         0 ≤ t ≤ 1

    r ' t = ( 0 ,   1 ,   0 )

    v r t = 0 2 ,   2 ∙ t ∙ 0 ,   t 2 = 0 ,   0 ,   t 2

    A integral de linha será:

    ∫ 0 1 0 ,   0 ,   t 2 ∙ 0 ,   1 ,   0 d t

    ∫ 0 1 ( 0 + 0 + 0 ) d t = 0

    Para a curva de 0 ,   1 ,   1 → ( 1 ,   1 ,   1 ) :

    r t = t ,   1 ,   1     ,         0 ≤ t ≤ 1

    r ' t = ( 1 ,   0 ,   0 )

    v r t = t 2 ,   2 ∙ 1 ∙ t ,   1 2 = t 2 ,   2 t ,   1

    A integral de linha será:

    ∫ 0 1 t 2 ,   2 t ,   1 ∙ 1 ,   0 ,   0 d t

    ∫ 0 1 t 2 d t = t 3 3 0 1 = 1 3 3 - 0 3 3 = 1 3

    Logo, nossa integral de linha de 0 ,   0 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) será a soma das integrais de linha dos três caminhos:

    0 + 0 + 1 3 = 1 3

    Passo 4

  5. A linha reta, direta
  6. Então, teremos uma integral de linha para a reta do ponto 0 ,   0 ,   0 → ( 1 ,   1 ,   1 ) .

    Parametrizando nossa reta, teremos:

    r t = t ,   t ,   t     ,     0 ≤ t ≤ 1

    r ' t = 1 ,   1 ,   1

    Nossa função então, parametrizada, será:

    v = x 2   x ^ + 2 y x   y ^ + y 2   z ^

    v r t = t 2 ,   2 ∙ t ∙ t ,   t 2 = t 2 ,   2 t 2 ,   t 2

    Nossa integral de linha será:

    ∫ 0 1 t 2 ,   2 t 2 ,   t 2 ∙ 1 ,   1 ,   1 d t

    ∫ 0 1 t 2 +   2 t 2 +   t 2 d t = ∫ 0 1 4 t 2 d t = 4 ∫ 0 1 t 2 d t = 4 t 3 3 0 1 = 4 1 3 = 4 3

    Passo 5

  7. Qual é a integral de linha em torno do caminho fechado que parte ao longo do caminho ( a ) e volta ao longo do caminho b ?

A integral de linha do caminho fechado é a soma das integrais de linha dos dois caminhos, como vimos antes. Porém, devemos no atentar que, o caminho ( b ) será percorrido inversamente, portanto, o valor de sua integral de linha será negativo. Logo:

∫ a b F γ t ∙ γ ' t d t = 7 3 + - 1 3 = 7 3 - 1 3 = 6 3 = 2

Resposta

Pronto! Compreendeu como parametrizamos os termos para calcular uma integral de linha?Qualquer dúvida, manda aí!