Enunciado
Elétrica - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 28
Calcule a integral de linha da função da origem ao ponto através de três rotas diferentes:
- ;
- ;
- A linha reta, direta;
- Qual é a integral de linha em torno do caminho fechado que parte ao longo do caminho e volta ao longo do caminho ?
Passo 1
Fala galera! Vamos lembrar como calculamos uma integral de linha.
Passo 2
- ;
- ;
- A linha reta, direta
- Qual é a integral de linha em torno do caminho fechado que parte ao longo do caminho e volta ao longo do caminho ?
Primeiro, vemos que são três curvas. Então calcularemos uma integral pra cada curva.
Começando pela curva de , vamos parametrizar:
Então:
Agora, usaremos os termos de na função dada:
Assim, nossa integral de linha para será:
Para a curva de :
A integral de linha será:
Para a curva de :
A integral de linha será:
Logo, nossa integral de linha de será a soma das integrais de linha dos três caminhos:
Passo 3
Primeiro, vemos que são três curvas. Então calcularemos uma integral pra cada curva.
Começando pela curva de , vamos parametrizar:
Agora, usaremos os termos de na função dada:
Assim, nossa integral de linha para será:
Para a curva de :
A integral de linha será:
Para a curva de :
A integral de linha será:
Logo, nossa integral de linha de será a soma das integrais de linha dos três caminhos:
Passo 4
Então, teremos uma integral de linha para a reta do ponto .
Parametrizando nossa reta, teremos:
Nossa função então, parametrizada, será:
Nossa integral de linha será:
Passo 5
A integral de linha do caminho fechado é a soma das integrais de linha dos dois caminhos, como vimos antes. Porém, devemos no atentar que, o caminho será percorrido inversamente, portanto, o valor de sua integral de linha será negativo. Logo:
Resposta
Pronto! Compreendeu como parametrizamos os termos para calcular uma integral de linha?Qualquer dúvida, manda aí!