Calcule h ( t ) , a partir de r ( t ) no Ex. 18.7.4, usando

(d r ( t ))/(d t) = h ( t )

Passo 1

Uhuuuuuuuuuu! Esse capítulo parece mais a caverna do dragão. Nunca tem fim... Pelo menos, os próximos exercícios serão mais tranquilos.

Vamos começar calculando R ( s ) a partir de H ( s ) .

R (s) = (H ( s ))/(s) = (2 ( s + 2 ))/(s ( s + 1 ) ( s + 3 )) = (A)/(s) + (B)/(s + 1) + (C)/(s + 3)

Passo 2

Em seguida, vamos calcular os coeficientes usando o método dos resíduos:

A = (s * R (s)|_s = 0 = ((2 (s + 2))/((s + 1) (s + 3))|_s = 0 = (2 * 2)/(1 * 3) => A = (4)/(3)

B = (( s + 1 ) R (s)|_s = - 1 = ((2 (s + 2))/(s (s + 3))|_s = - 1 = (2 ( - 1 + 2 ))/(- 1 ( - 1 + 3 )) = (2 * 1)/(- 1 * 2) = (2)/(- 2) => B = - 1

C = (( s + 3 ) R (s)|_s = - 3 = ((2 (s + 2))/(s (s + 1))|_s = - 3 = (2 ( - 3 + 2 ))/(- 3 ( - 3 + 1 )) = (2 ( - 1 ))/(- 3 ( - 2 )) = - (2)/(6) => C = - (1)/(3)

Assim,

R (s) = (4)/(3) * (1)/(s) - (1)/(s + 1) - (1)/(3) * (1)/(s + 3) :. r (t) = [(4)/(3) - e^(- t) - (1)/(3) * e^(- 3 t)]_ u ( t )

Passo 3

Agora que obtivemos r ( t ) , vamos usar a equação sugerida no enunciado

h (t) = (d r (t))/(d t) = [(4)/(3) - e^(- t) - (1)/(3) * e^(- 3 t)]^' = - (- e^t) - (1)/(3) * (- 3) * e^(- 3 t)

=> h (t) = [e^(- t) + e^(- 3 t)] u ( t )

que é a mesma resposta da letra a) do Ex. 18.7.4.

Viu como essa propriedade pode ser muito útil na resolução de questões? Então, vamos para a próxima seção!

Resposta

h (t) = [e^(- t) + e^(- 3 t)] u ( t )