Calcule a série de Fourier de

f t = t 2 ,     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

E use os resultados em t = 0   e   t = 1 para obter, respectivamente, as fórmulas

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 = π 2 12 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Passo 1

Nessa questão ele pede para calcular a série de Fourier de

f t = t 2 ,     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

use os resultados em t = 0   e   t = 1 para obter, respectivamente, as fórmulas

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 = π 2 12 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Sabendo que,

f t = t 2 ,     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

t = 0   e   t = 1

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 = π 2 12 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Lembrando que para série geométrica de Fourier temos,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

Chegando em,

f t = - 1 n + 1 + 1 n 2   ∑ n = 1 ∞ π 2 4 cos ⁡ ( n w 0 t )

Resposta

f t = - 1 n + 1 + 1 n 2   ∑ n = 1 ∞ π 2 4 cos ⁡ ( n w 0 t )