Calcule a série de Fourier para

f (t) = {[[0 , - 1 < t < - (1)/(2)],[4 , - (1)/(2) < t < (1)/(2)],[0 , (1)/(2) < t < 1]])

f (t + 2) = f ( t )

Passo 1

Nessa questão ele pede para calcular a série de Fourier para:

f (t) = {[[0 , - 1 < t < - (1)/(2)],[4 , - (1)/(2) < t < (1)/(2)],[0 , (1)/(2) < t < 1]])

f (t + 2) = f ( t )

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Sabendo que,

f (t) = {[[0 , - 1 < t < - (1)/(2)],[4 , - (1)/(2) < t < (1)/(2)],[0 , (1)/(2) < t < 1]])

f (t + 2) = f ( t )

Temos que nos lembrar antes que para solucionarmos uma série de Fourier

f (x) = (1)/(L) int_(- L)^L f ( x ) d x

a n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) cos ((n pi x)/(L)) d x

b n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) sin ((n pi x)/(L)) d x

Ficando,

f (x) = (1)/((1)/(2)) int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) 0 + (1)/(4) int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) 4 + (1)/((1)/(2)) int_((1)/(2))^1 0 d x

a n = (1)/((1)/(2)) int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) 4 cos (((n pi 1)/(2))/((1)/(2))) d x

b n = (1)/((1)/(2)) int_(- (1)/(2))^((1)/(2)) 4 sin (((n pi 1)/(2))/((1)/(2))) d x

Resultando em,

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (a n cos (n pi x)/(L) + b n sin (n pi x)/(L))

f (x) = 2 + (8)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^(n + 1) cos (2 n - 1) pi t)/(2 n - 1)

Espero ter ajudado, até próxima.

Resposta

f (x) = 2 + (8)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^(n + 1) cos (2 n - 1) pi t)/(2 n - 1)