a) Calcule a série de Fourier para a função periódica da Figura P16.18 quando V m = 378 π V. Escreva a série na forma da Equaçāo 16.38.b) Use os cinco primeiros termos não-nulos para estimar v ( T / 8 ) .

Passo 1

(a) A tensão tem simetria de meia onda. Portanto,

a v = 0 ;   a k = b k = 0 ,   k even a k = 4 T ∫ 0 T / 2   V m - 2 V m T t c o s ⁡ k ω o t d t ,   k odd b k = 4 T ∫ 0 T / 2   V m - 2 V m T t s i n ⁡ k ω o t d t ,   k odd a k = 4 V m T ∫ 0 T / 2   c o s ⁡ k ω o t d t - 8 V m T 2 ∫ 0 T / 2   t c o s ⁡ k ω o t d t

= I n t ⁡ 1 - I n t ⁡ 2

I n t ⁡ 1 = 4 V m T ∫ 0 T / 2   c o s ⁡ k ω o t d t = 4 V m T ⋅ 1 k ω o s i n ⁡ k ω o t 0 T / 2 = 0

I n t ⁡ 2 = 8 V m T 2 c o s ⁡ k ω o t k 2 ω o 2 + t s i n ⁡ k ω o t k ω o 0 T / 2

= 8 V m T 2 1 k 2 ω o 2 ( c o s ⁡ k π - 1 ) = - 16 V m k 2 4 π 2 = - 4 V m π 2 k 2 ,   k odd

∴   a k = 4 V m π 2 k 2 ,   k odd b k = 4 V m T ∫ 0 T / 2   s i n ⁡ k ω o t d t - 8 V m T 2 ∫ 0 T / 2   t s i n ⁡ k ω o t d t

= I n t 1 - I n t ⁡ 2

I n t ⁡ 1 = 4 V m T ∫ 0 T / 2   s i n ⁡ k ω o t d t = 4 V m T ⋅ - 1 k ω o c o s ⁡ k ω o t 0 T / 2

= - 4 V m T k ω o [ c o s ⁡ k π - 1 ] = 8 V m k ω o T = 4 V m π k

I n t ⁡ 2 = 8 V m T 2 ∫ 0 T / 2   t s i n ⁡ k ω o t d t

= 8 V m T 2 s i n ⁡ k ω o t k 2 ω o 2 - t c o s ⁡ k ω o t k ω o 0 T / 2 = 8 V m T 2 0 - T 2 k ω o c o s ⁡ k π - 0 - 0 = 2 V m k π

∴ b k = 4 V m π k - 2 V m π k = 2 V m π k ∴ A k / Γ θ k = a k - j b k = 2 V m π k 2 π k - j 1 V m = 378 π m V A k / - θ k _ = 756 k 2 π k - j 1 m V v ( t ) = ∑ n = 1,3 , 5 ∞   A n c o s ⁡ n ω o t - θ n A 1 / - θ 1 = 896.20 ∠ - 57.52 ∘ m V

A 3 ∠ - θ 3 = 257.61 ∠ - 78.02 ∘ m V A 5 ∠ - θ 5 = 152.42 ∠ - 82.74 ∘ m V A 7 ∠ - θ 7 = 108.45 ∠ - 84.80 ∘ m V A 9 ∠ - θ 9 = 84.21 ∠ - 85.95 ∘ m V v ( t ) = 896.20 c o s ⁡ ω o t - 57.52 ∘ + 257.61 c o s ⁡ 3 ω o t - 78.02 ∘

+ 152.42 c o s ⁡ 5 ω o t - 82.74 ∘ + 108.45 c o s ⁡ 7 ω o t - 84.80 ∘

= + 84.21 c o s ⁡ 9 ω o t - 85.95 ∘ + ....

Passo 2

[b]  v ( T / 8 ) = 896.20 c o s ⁡ 45 - 57.52 ∘ + 257.61 c o s ⁡ 135 - 78.02 ∘

+ 152.42 c o s ⁡ 225 - 82.74 ∘ + 108.45 c o s ⁡ 315 - 84.80 ∘

= + 84.21 c o s ⁡ 405 - 85.95 ∘ = 888.92 m V

v ( T / 8 ) = 378 π - 2 ( 378 π ) T T 8 = 378 π 1 - 1 4 = 890.64 m V

A % de diferença com base no valor exato é

888.92 - 890.64 890.64 ( 100 ) = - 0.19 %

Resposta

a .   v ( t ) = 896.20 c o s ⁡ ω o t - 57.52 ∘ + 257.61 c o s ⁡ 3 ω o t - 78.02 ∘

+ 152.42 c o s ⁡ 5 ω o t - 82.74 ∘ + 108.45 c o s ⁡ 7 ω o t - 84.80 ∘

= + 84.21 c o s ⁡ 9 ω o t - 85.95 ∘ + ....

b. - 0.19 %