Calcule a série de Fourier para a tensão periódica da Figura P16.3, dado que

v ( t ) = 200 c o s ⁡ 2 π T t V , - T 4 ≤ t ≤ T 4 ; v ( t ) = - 100 c o s ⁡ 2 π T t V , T 4 ≤ t ≤ 3 T 4 .

Passo 1

Ao estudar a função periódica na Fig. P16.3, observe que ela pode ser visualizada como a combinação de duas ondas senoidais retificadas de meia onda, conforme mostrado na figura abaixo. Portanto, podemos usar a série de Fourier para uma onda senoidal retificada de meia onda que é dada como resposta ao Problema 16.2(c).

Ao usar a série de Fourier derivada anteriormente para a onda senoidal retificada de meia onda, notamos que v 1 ( t ) foi deslocado T/4 unidades para a esquerda e v 2 ( t ) foi deslocado T/4 unidades para a direita. Desta forma,

v 1 ( t ) = 200 π + 100 s i n ⁡ ω o ( t + T / 4 ) - 400 π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   c o s ⁡ n ω o ( t + T / 4 ) n 2 - 1 V

Passo 2

Agora observe o seguinte:

s i n ⁡ ω o ( t + T / 4 ) = s i n ⁡ ω o t + π / 2 = c o s ⁡ ω o t c o s ⁡ n ω o ( t + T / 4 ) = c o s ⁡ n ω o t + n π / 2 = c o s ⁡ n π 2 c o s ⁡ n ω o t

porque n é par.

∴ v 1 ( t ) = 200 π + 100 c o s ⁡ ω o t - 400 π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   c o s ⁡ ( n π / 2 ) c o s ⁡ n ω o t n 2 - 1 V ∴ v 2 ( t ) = 100 π + 50 s i n ⁡ ω o ( t - T / 4 ) - 200 π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   c o s ⁡ n ω o ( t - T / 4 ) n 2 - 1 V

Passo 3

Novamente observe o seguinte

s i n ⁡ ω o t - π / 2 = - c o s ⁡ ω o t c o s ⁡ n ω o t - n π / 2 = c o s ⁡ ( n π / 2 ) c o s ⁡ n ω o t

porque n é par

∴ v 2 ( t ) = 100 π - 50 c o s ⁡ ω o t - 200 π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   c o s ⁡ ( n π / 2 ) c o s ⁡ n ω o t n 2 - 1 V

Por isso v = v 1 + v 2

∴ v ( t ) = 300 π + 50 c o s ⁡ ω o t - 600 π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   c o s ⁡ ( n π / 2 ) c o s ⁡ n ω o t n 2 - 1 V

Resposta

v ( t ) = 300 π + 50 c o s ⁡ ω o t - 600 π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   c o s ⁡ ( n π / 2 ) c o s ⁡ n ω o t n 2 - 1 V