Calcule as séries trigonométricas de Fourier para as funções

a )   f t = t + 1 ,                           0 < t < π t - 1 ,                     - π < t < 0

f t + 2 π = f ( t )

b) f t = | t | ,       - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

c) f t = A T t ,                     0 < t < T

f t + T = f ( t )

d) f t - 1 - t ,                     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

Passo 1

Nessa questão ele pede para calcular as séries trigonométricas de Fourier

a )   f t = t + 1 ,                           0 < t < π t - 1 ,                     - π < t < 0

f t + 2 π = f ( t )

b) f t = | t | ,       - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

c) f t = A T t ,                     0 < t < T

f t + T = f ( t )

d) f t - 1 - t ,                     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Na letra (a), sabendo que

  f t = t + 1 ,                           0 < t < π t - 1 ,                     - π < t < 0

f t + 2 π = f ( t )

Lembrando que para série trigonométrica devemos nos lembrar que,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

Ficando,

f t = 1 π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) 3 n 2 - 1 cos ⁡ n π t

Na letra (b) para,

f t = | t | ,       - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

Ficando,

f t = 2 π + ∑ n = 1 ∞ 2 π cos ⁡ n π t

Passo 3

Na letra (c) para,

c) f t = A T t ,                     0 < t < T

f t + T = f ( t )

Lembrando que para série trigonométrica devemos nos lembrar que,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

f t = A π + ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π

E por fim na letra (d) para,

f t - 1 - t ,                     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

Ficando,

f t = 3 n π + ∑ n = 1 ∞ 2 sin ⁡ n π t + 6 cos ⁡ n π t

Espero ter ajudado, até próxima.

Resposta

a) f t = 1 π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) 3 n 2 - 1 cos ⁡ n π t

b) f t = 2 π + ∑ n = 1 ∞ 2 π cos ⁡ n π t

c) f t = A π + ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π

d) f t = 3 n π + ∑ n = 1 ∞ 2 sin ⁡ n π t + 6 cos ⁡ n π t