Calcule as séries trigonométricas de Fourier para as funções

a )   f t = 1 ,                           0 < t < π 2 ,                       π < t < 2 π

f t + 2 π = f ( t )

b) f t = e t ,       - π < t < π

f t + 2 π = f ( t )

c) f t = t 2 ,                     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

Passo 1

Nessa questão ele pede para calcular as séries trigonométricas de Fourier

a )   f t = 1 ,                           0 < t < π 2 ,                       π < t < 2 π

f t + 2 π = f ( t )

b) f t = e t ,       - π < t < π

f t + 2 π = f ( t )

c) f t = t 2 ,                     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Na letra (a), sabendo que

  f t = 1 ,                           0 < t < π 2 ,                       π < t < 2 π

f t + 2 π = f ( t )

Lembrando que para série trigonométrica devemos nos lembrar que,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

Ficando,

a 0 = 3 ,       a n = 0 ,   b n = - 1 n - 1 n π

Passo 3

Na letra (b) para,

f t = e t ,       - π < t < π

f t + 2 π = f ( t )

Lembrando que para série trigonométrica devemos nos lembrar que,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

a 0 = 0 ,       a n = 2 - 1 n π ( n 2 + 1 ) sin ⁡ h π ,       b n = - n a n

Passo 4

E por fim na letra ( c ) temos,

f t = t 2 ,                     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

f t = 1 3 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 cos ⁡ n π t

Espero ter ajudado, até próxima.

Resposta

a) a 0 = 3 ,       a n = 0 ,   b n = - 1 n - 1 n π

b) a 0 = 0 ,       a n = 2 - 1 n π ( n 2 + 1 ) sin ⁡ h π ,       b n = - n a n

c) f t = 1 3 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 cos ⁡ n π t