Calcule L t ⋅ sin ⁡ 2 t u t . (Sugestão: escreva sin ⁡ 2 t em função de exponenciais.)

Passo 1

Vamos seguir a sugestão dada pelo autor e escrever o seno em função de funções exponenciais da seguinte maneira

sin ⁡ 2 t = e 2 i t - e - 2 i t 2 i

Assim, teremos que calcular a transformada de Laplace da seguinte função:

f t = t e 2 i t - e - 2 i t 2 i = 1 2 i ( t ⋅ e 2 i t - t ⋅ e - 2 i t )

Passo 2

A transformada da função f t = t é conhecida. Como temos uma exponencial no domínio do tempo, isso significa que os valores de “s” no domínio da frequência deverão ser ajustados da seguinte maneira:

L f t = 1 2 i 1 s - 2 i 2 - 1 s + 2 i 2 = 1 2 i 1 s - 2 i 2 ⋅ s + 2 i 2 s + 2 i 2 - 1 s + 2 i 2 ⋅ s - 2 i 2 s - 2 i 2

= 1 2 i s 2 + 4 s i + 4 i 2 - s 2 - 4 s i + 4 i 2 s 2 + 4 s i + 4 i 2 s 2 - 4 s i + 4 i 2  

Como i 2 = - 1 , podemos reescrever a expressão anterior como

1 2 i s 2 + 4 s i - 4 - s 2 - 4 s i - 4 s 2 + 4 s i - 4 s 2 - 4 s i - 4  

= 1 2 i 4 s i + 4 s i s 4 - 4 s 3 i - 4 s 2 + 4 s 3 i - 16 s 2 i 2 - 16 s i - 4 s 2 + 16 s i + 16

1 2 i 8 s i s 4 - 4 s 2 + 16 s 2 - 4 s 2 + 16 = 4 s s 4 + 8 s 2 + 16

Passo 3

Fatorando o denominador, podemos escrever a transformada como

F s =   4 s s 2 + 4 2

Resposta

L t ⋅ sin ⁡ 2 t u t = 4 s s 2 + 4 2