Calcule L - 1 1 s 2 + 1 2 . [Sugestão: Use a integral de convolução, onde F s = G s = 1 s 2 + 1 .]

Passo 1

Como diria Jô Soares, UOOOOOOOOOOOUUUU!!!!

Vamos pra uma questão não tão comum que envolve a obtenção da função através da convolução.

Vamos seguir a recomendação da questão. O que ela está dizendo nada mais é do que representar a transformada como o produto de duas funções da seguinte maneira:

1 s 2 + 1 2 = F s ⋅ G s = 1 s 2 + 1 ⋅ 1 s 2 + 1

Passo 2

Agora, vamos usar a equação da integral de convolução, que como o nome sugere envolve uma integral:

L f t * g t = F s ⋅ G s ⇒   L - 1 F s ⋅ G s = f t * g ( t )

e

f t * g t = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Como as transformadas inversas de F ( s ) e G ( s ) são iguais e são conhecidas, a saber

L - 1 1 s 2 + 1 = sin ⁡ t

Então

f t = g t = sin ⁡ t

Aplicando a equação da convolução, temos:

L - 1 F s ⋅ G s = f t * g t = ∫ 0 t sin ⁡ τ ⋅ sin ⁡ t - τ d τ

Antes de continuarmos, teremos que usar a seguinte relação trigonométrica:

sin ⁡ ( a - b ) = sin ⁡ a ⋅ cos ⁡ b - sin ⁡ b ⋅ cos ⁡ a

Então

∫ 0 t sin ⁡ τ ⋅ sin ⁡ t - τ d τ = ∫ 0 t sin ⁡ τ ⋅ [ sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ τ - sin ⁡ τ ⋅ cos ⁡ t ] d τ

= ∫ 0 t sin ⁡ t ( sin ⁡ τ ⋅ cos ⁡ τ ) d τ - ∫ 0 t cos ⁡ t sin ⁡ τ 2 d τ

Como a variável de integração é τ , então as grandezas que envolvem “t” são consideradas constantes e podem sair da integral. Assim:

∫ 0 t sin ⁡ t sin ⁡ τ ⋅ cos ⁡ τ d τ - ∫ 0 t cos ⁡ t sin ⁡ τ 2 d τ

= sin ⁡ t ∫ 0 t sin ⁡ τ ⋅ cos ⁡ τ d τ - cos ⁡ t ∫ 0 t sin ⁡ τ 2 d τ = sin ⁡ t ⋅ M - cos ⁡ t ⋅ N

Onde M e N são as duas integrais e cada uma deve ser resolvida usando mudança de variáveis.

Passo 3

Vamos começar encontrando M :

M = ∫ 0 t sin ⁡ τ ⋅ cos ⁡ τ d τ

Chamemos u = sin ⁡ τ . Assim, d u = cos ⁡ τ d τ . Então

∫ sin ⁡ τ ⋅ cos ⁡ τ d τ = ∫ u d u = u 2 2 + C = sin 2 ⁡ τ 2 + C

Assim,

M = sin 2 ⁡ τ 2 τ = 0 τ = t = sin 2 ⁡ t 2 - sin 2 ⁡ 0 2 ⇒ M = sin 2 ⁡ t 2

E

N = ∫ 0 t sin ⁡ τ 2 d τ

O valor de N será encontrado utilizando uma mudança de variáveis diferente: sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 τ 2 . Assim:

∫ 0 t sin ⁡ τ 2 d τ = ∫ 0 t 1 - cos ⁡ 2 τ 2 d τ = 1 2 τ - sin ⁡ 2 τ 2 τ = 0 τ = t

= 1 2 t - sin ⁡ 2 t 2 - 0 + sin ⁡ 2 ⋅ 0 2 = t 2 - sin ⁡ 2 t 4

Fazendo uso da identidade trigonométrica sin ⁡ 2 t = 2 ⋅ sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t , podemos escrever o resultado anterior como

t 2 - sin ⁡ 2 t 4 = t 2 - 2 ⋅ sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 4 ⇒ N = t 2 - sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 2

Passo 4

Voltando à equação onde M e N surgiram a primeira vez, temos:

sin ⁡ t ⋅ M - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t = sin ⁡ t ⋅ sin 2 ⁡ t 2 - cos ⁡ t ⋅ t 2 - sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 2

= sin 3 ⁡ t 2 - t ⋅ cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t ⋅ cos 2 ⁡ t 2

Poderíamos simplesmente terminar aqui, já que encontramos uma expressão em função do tempo. No entanto, esta seção possui uma resposta ao lado da questão que é totalmente diferente do que encontramos, então, onde está o pulo do gato?

Vamos começar colocando as 3 frações separadas como apenas um termo. Além disso, vamos colocar sin ⁡ t em evidência:

sin 3 ⁡ t 2 - t ⋅ cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t ⋅ cos 2 ⁡ t 2 = 1 2 [ sin ⁡ t ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) - t cos ⁡ t ]

Usando a relação fundamental da trigonometria, sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , temos que a expressão anterior se reduz a

1 2 [ sin ⁡ t ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) - t cos ⁡ t ] = 1 2 ( sin ⁡ t - t cos ⁡ t )

Ufa!... ( 20 vezes)

Depois dessa eu vou maratonar uma série. Fui!

Resposta

L - 1 1 s 2 + 1 2 = 1 2 ( sin ⁡ t - t cos ⁡ t ) u ( t )