Calcule . [Sugestão: Use a integral de convolução, onde .]
Passo 1
Como diria Jô Soares, UOOOOOOOOOOOUUUU!!!!
Vamos pra uma questão não tão comum que envolve a obtenção da função através da convolução.
Vamos seguir a recomendação da questão. O que ela está dizendo nada mais é do que representar a transformada como o produto de duas funções da seguinte maneira:
Passo 2
Agora, vamos usar a equação da integral de convolução, que como o nome sugere envolve uma integral:
e
Como as transformadas inversas de e são iguais e são conhecidas, a saber
Então
Aplicando a equação da convolução, temos:
Antes de continuarmos, teremos que usar a seguinte relação trigonométrica:
Então
Como a variável de integração é , então as grandezas que envolvem “t” são consideradas constantes e podem sair da integral. Assim:
Onde e são as duas integrais e cada uma deve ser resolvida usando mudança de variáveis.
Passo 3
Vamos começar encontrando :
Chamemos . Assim, . Então
Assim,
E
O valor de será encontrado utilizando uma mudança de variáveis diferente: . Assim:
Fazendo uso da identidade trigonométrica , podemos escrever o resultado anterior como
Passo 4
Voltando à equação onde e surgiram a primeira vez, temos:
Poderíamos simplesmente terminar aqui, já que encontramos uma expressão em função do tempo. No entanto, esta seção possui uma resposta ao lado da questão que é totalmente diferente do que encontramos, então, onde está o pulo do gato?

Vamos começar colocando as 3 frações separadas como apenas um termo. Além disso, vamos colocar em evidência:
Usando a relação fundamental da trigonometria, , temos que a expressão anterior se reduz a
Ufa!... ( vezes)
Depois dessa eu vou maratonar uma série. Fui!