Calcule a transformada de Laplace de

a ) (2 + 3 e^(- 1)) u ( t )

b ) (3 t - 5 e^(6 t)) u ( t )

c ) cosh k t u ( t )

Passo 1

Uuuhuuuuuuuuuu! Bora começar mais uma questão “supimpa” de transformada de Laplace! (Oxe, parece mais minha Bisavó falando as coisas...)

Como cada questão aqui tem uma transformada de Laplace que pode ser obtida de maneira direta, vamos resolver cada uma em cada passo, belezinha?

a) Considerando a propriedade da Linearidade, temos que

L [2 + 3 e^(- 1)] = L [2] + L [ 3 e^(- 1) ]

Além disso, quando temos uma exponencial em um domínio, isso significa translação no outro domínio. Assim, se há uma exponencial no tempo, significa que há uma translação no domínio da frequência. Logo

L [2 + 3 e^(- 1)] = (2)/(s) + 3 * (1)/(s + 1)

Passo 2

b) Usando novamente a propriedade da Linearidade, vamos ter agora

L [3 t - 5 e^(- 6 t)] = 3 L [t] - 5 L [ e^(6 t) ]

Além disso, quando temos uma exponencial em um domínio, isso significa translação no outro domínio. Assim, se há uma exponencial no tempo, significa que há uma translação no domínio da frequência. Logo

L [3 t - 5 e^(6 t)] = (3)/(s^2) - (5)/(s - 6)

OBS.: Apesar de estar aparecendo aqui no livro como exercício da teoria da transformada de Laplace, aplicações em circuitos são muito raras, pra não dizer inexistentes. Por isso, percebam que este é um caso bem isolado de exponencial com expoente positivo!

Passo 3

c) Para resolver este item, vamos começar expressando o cosseno hiperbólico em função de exponenciais:

cosh k t = (e^(k t) + e^(- k t))/(2)

Agora, a transformada de Laplace sai de lambuja:

L [cosh k t] = L [(e^(k t) + e^(- k t))/(2)] = (1)/(2) [ L [e^(k t)] + L [e^(- k t)] ]

Já estamos craques na resolução de transformadas de exponenciais. Assim:

L [cosh k t] = (1)/(2) [(1)/(s - k) + (1)/(s + k)] = (1)/(2) [(s + k + ( s - k ))/(( s - k ) ( s + k ))] = (1)/(2) [(2 * s)/(s^2 - k^2)]

L [cosh k t] = (s)/(s^2 - k^2)

Resposta

a ) (2)/(s) + (3)/(s + 1)

b ) (3)/(s^2) - (5)/(s - 6)

c ) (s)/(s^2 - k^2)