Calcule a transformada de Laplace de

  1. u (t) - u ( t - 1 )
  2. e^(- 2 t) [ u (t) - u (t - 2) ]
  3. t * u ( t - 2 )
  4. e^(- t) u (t - 2)

Passo 1

Vamos começar desenvolvendo todas as expressões para trabalharmos com cada termo separadamente no desenvolvimento da transformada.

a) u (t) - u ( t - 1 )

b) e^(- 2 t) u (t) - e^(- 2 t) u ( t - 2 )

c) t * u ( t - 2 )

d) e^(- t) u ( t - 2 )

Passo 2

Com exceção de um termo na letra a) e outro na letra b) teremos expressões na forma u ( t - t_0 ) . Isto significa que teremos no resultado da transformada um produto envolvendo e^(- t_0 s) . Mas para podermos usar esta propriedade, devemos fazer com que a função ao invés de ser em função de “t”, seja em função de “ ( t - t_0 ) ”.

Com exceção da letra a), deveremos fazer esta manipulação para todas as outras letras.

b) e^(- 2 t) u (t) - e^(- 2 t) u (t - 2) = e^(- 2 t) u (t) - e^(- 2 t) * (e^4 * e^(- 4)) u (t) = e^(- 2 t) u (t) - e^(- 2 (t - 2)) * e^(- 4) u ( t - 2 )

c) t * u (t - 2) = t * (2 - 2) * u (t - 2) = (t - 2) u (t - 2) + 2 u ( t - 2 )

d) e^(- t) u (t - 2) = e^(- t) * (e^2 * e^(- 2)) * u (t - 2) = e^(- (t - 2)) * e^(- 2) u ( t - 2 )

Passo 3

Assim, o desenvolvimento das transformadas será o seguinte:

a)

F (s) = (1)/(s) - (1)/(s) * e^(- s)

b)

F (s) = (1)/(s + 2) - (e^(- 4))/(s + 2) * e^(- 2 s) = (1 - e^(- 2 (s + 2)))/(s + 2)

c)

F (s) = (e^(- 2 s))/(s^2) + (2 * e^(- 2 s))/(s)

d)

F (s) = (e^(- 2))/(s + 1) * e^(- 2 t) = (e^(- 2 (s + 1)))/(s + 1)

Resposta

a)

F (s) = (1)/(s) - (1)/(s) * e^(- s)

b)

F (s) = (1 - e^(- 2 (s + 2)))/(s + 2)

c)

F (s) = (e^(- 2 s))/(s^2) + (2 * e^(- 2 s))/(s)

d)

F (s) = (e^(- 2 (s + 1)))/(s + 1)