Calcule a transformada de Laplace de

a ) cos k t u ( t )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaala, galera. Vamos dar início a nossa jornada no mundo das transformadas de Laplace. E nada melhor que começar resolvendo uma questãozinha de transformada pela definição. Simbora!

A grande sacada que vai fazer economizarmos um tempo precioso é saber expressar o seno como uma combinação de exponenciais. Tipo assim

cos k t = (e^(î k t) + e^(- i k t))/(2)

onde i = - sqrt(1)

Passo 2

Agora vamos usar a definição propriamente dita:

L [ cos k t ] = int_0^(oo) (cos k t) * e^(- s t) * d t = int_0^(oo) ((e^(i k t) + e^(- i k t))/(2)) e^(- s t) d t

= (1)/(2) underset(A -> oo)(lim) int_0^A (e^(i k t) * e^(- s t) + e^(- i k t) * e^(- s t)) = (1)/(2) underset(A -> oo)(lim) int_0^A (e^(- (s - i k) * t) + e^(- (s + i k) * t)) * d t

Para que as integrais convirjam, é necessário que s - i k > 0 e s + i k > 0 para que as exponenciais convirjam à medida “t” cresça positivamente. Assim, ficamos com a seguinte expressão:

= (1)/(2) underset(A -> oo)(l i m) [(e^(- (s - i k) * A))/(- (s - i k)) + (e^(- (s + i k) * A))/(- (s + i k)) - (e^(- (s - i k) * 0))/(- (s - i k)) - (e^(- (s + i k) * 0))/(- ( s + i k ))]

Os expoentes das primeira e segunda fração tendem a - oo . Com isso, estas frações tendem a zero. Assim, continuamos com

(1)/(2) underset(A -> oo)(* l i m) [(e^(- (s - i k) * A))/(- (s - i k)) + (e^(- (s + i k) * A))/(- (s + i k)) - (e^(- (s - i k) * 0))/(- (s - i k)) - (e^(- (s + i k) * 0))/(- ( s + i k ))] = (1)/(2) * [(e^0)/(( s - i k )) + (e^0)/(( s + i k ))]

Passo 3

Agora que encontramos o limite, falta apenas finalizar a expressão encontrada:

(1)/(2) * [(e^0)/(( s - i k )) + (e^0)/(( s + i k ))] = (1)/(2) * (s + i k + (s - i k))/((s - i k) (s + i k)) = (1)/(2) * (2 * s)/(s^2 - i^2 k^2)

Como i^2 = - 1 , obtemos

(1)/(2) * (2 * s)/(s^2 - i^2 k^2) = (s)/(s^2 - (- 1 * k^2)) = (s)/(s^2 + k^2)

Resposta

L [cos k t u ( t )] = (s)/(s^2 + k^2)