Calcule a transformada de Laplace da seguinte função:

f x = - 1 ,     0 ≤ t ≤ 3 1 ,                             t > 3

Passo 1

Vamos começar escrevendo esta função, que é definida por 2 equações, em apenas uma equação. “Mas como assim?”, você talvez possa estar se perguntando. É simples, vamos usar um conjunto de funções degrau, as famosas funções “u(t)” pra marcar o ponto onde a função começa e onde a função termina. E como seria isso? Vamos ver abaixo:

O valor da primeira equação é – 1. Assim, ele será o valor que irá multiplicar as funções degrau. O primeiro valor de “t” será o valor positivo “u(t – t0)” e o segundo valor de “t” será o valor negativo “u(t – t1)”:

- 1 ,   0 ≤ t ≤ 3   ⇒   - 1 ⋅ u t - 0 - u t - 3 = u t - 3 - u ( t )

Já na segunda equação, temos o valor de f(x) sendo “1”. Além disso, há apenas um valor de “tn”, logo, esta equação contribuirá da seguinte maneira na formação da equação completa:

1 ,       t > 3 ⇒ 1 ⋅ u t - 3 = u ( t - 3 )

Para escrevermos a equação completa, basta somarmos as duas equações. Assim:

f x =   u t - 3 - u t + u t - 3 ⇒ f x = 2 ⋅ u t - 3 - u ( t )

Passo 2

De posse da função representada por funções degrau, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace pra encontrarmos a transformada desta função. Mas vamos pensar em algumas coisas pra facilitar nossa resolução. A transformada é dada nas tabelas dos livros em função de u(t). No nosso exemplo, há um u(t – 3). Isso indica que teremos que “compensar” este “3”. Essa compensação é feita usando a propriedade do deslocamento no tempo.

Além disso, vamos usar a propriedade da linearidade. Então:

Pela Linearidade:

L { f t = 2 ⋅ L u t - 3 - L { u ( t ) }

Pelo Deslocamento no tempo:

Pelo Deslocamento no tempo:

L { f t } = 2 ⋅ 1 s ⋅ e - 3 s - 1 s ⇒ L { f t } = 2 e - 3 s - 1 s

Resposta

L { f t } = 2 e - 3 s - 1 s