Calcule a transformada de Laplace da seguinte função:
Passo 1
Vamos começar escrevendo esta função, que é definida por 2 equações, em apenas uma equação. “Mas como assim?”, você talvez possa estar se perguntando. É simples, vamos usar um conjunto de funções degrau, as famosas funções “u(t)” pra marcar o ponto onde a função começa e onde a função termina. E como seria isso? Vamos ver abaixo:
O valor da primeira equação é – 1. Assim, ele será o valor que irá multiplicar as funções degrau. O primeiro valor de “t” será o valor positivo “u(t – t0)” e o segundo valor de “t” será o valor negativo “u(t – t1)”:
Já na segunda equação, temos o valor de f(x) sendo “1”. Além disso, há apenas um valor de “tn”, logo, esta equação contribuirá da seguinte maneira na formação da equação completa:
Para escrevermos a equação completa, basta somarmos as duas equações. Assim:
Passo 2
De posse da função representada por funções degrau, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace pra encontrarmos a transformada desta função. Mas vamos pensar em algumas coisas pra facilitar nossa resolução. A transformada é dada nas tabelas dos livros em função de u(t). No nosso exemplo, há um u(t – 3). Isso indica que teremos que “compensar” este “3”. Essa compensação é feita usando a propriedade do deslocamento no tempo.
Além disso, vamos usar a propriedade da linearidade. Então:
Pela Linearidade:
Pelo Deslocamento no tempo:
Pelo Deslocamento no tempo: