Calcule W usando as equações 4.55 e 4.58, para uma esfera de raio R com polarização uniforme congelada P (exemplo 4.2). Comente sobre a discrepância. Qual (se alguma é a ‘verdadeira’ energia do sistema?

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Partindo da equação 4.5: W = ϵ 0 2 ∫ E 2 d τ e com o exemplo 4.2 e a equação 3.103, temos que:

E = - 1 3 ϵ 0 P z ^ ,   p a r a   r < R R 3 P 3 ϵ 0 r 3 2 cos ⁡ θ r ^ + sin ⁡ θ θ ^ ,   p a r a   r > R  

Assim temos que:

W r < R = ϵ 0 2 P 3 ϵ 0 2 4 3 π R 3 = 2 π 27 P 2 R 3 ϵ 0  

Agora para o outro intervalo, temos:

W r > R = ϵ 0 2 R 3 P 3 ϵ 0   2 ∫ 1 r 6 4 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ

= R 3 P 2 18 ϵ 0 2 π ∫ 0 π 1 + 3 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ ∫ R ∞ 1 / r 4 d r

Substituindo os limites de integração, temos que:

W r > R = π R 3 P 2 9 ϵ 0 4 3 R 3 = 4 π R 3 P 2 27 ϵ 0

E a energia total então é:

W t o t = 2 π R 3 P 2 9 ϵ 0

Passo 2

Agora podemos ressaltar que esta energia eletrostática está correta, mas não é o trabalho total necessário para pontar o sistema, pois deixa de fora a energia mecânica envolvida na polarização das moléculas.

Usando a equação 4.58:

W = 1 2 ∫ D . E d τ

Para r D = ϵ 0 E , então esta contribuição é a mesma de antes. Agora para r>R, D = ϵ 0 E + P = - 1 3 P + P = 2 3 P = - 2 ϵ 0 E , assim 1 2 D . E = - 2 ϵ 0 2 E 2 e agora a contribuição é - 2 2 π 27 P 2 R 3 ϵ 0 = - 4 π 27 R 3 P 2 ϵ 0 e exatamente cancela o termo exterior. Com isso podemos concluir que W t o t = 0 .

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

W t o t = 2 π R 3 P 2 9 ϵ 0