Calcule , para , usando transformadas de Laplace:
Passo 1
Tudo belezinha contigo, “bença”? Comigo tá tuuuuuuuuuuuuudo joia...
Bora começar a resolver equações diferenciais usando transformadas de Laplace. O que precisamos para começar é da relação
Além disso, uma função qualquer genérica tem transformada . No nosso caso, juntando essas duas informações, teríamos
com
Passo 2
Agora vamos encontrar as expansões em frações parciais de :
O Cálculo de e podem ser feitos de maneira direta, utilizando o método dos resíduos:
Para encontrarmos o valor de , vamos substituir os valores encontrados de e na fração parcial e usar um pouco de algebrismo:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Igualando os dois membros, chegamos ao seguinte sistema:
Ambas as equações conduzem ao mesmo resultado
Assim, podemos expressar da seguinte maneira:
Passo 3
Agora vamos encontrar as expansões em frações parciais de . A vantagem aqui é que os coeficientes serão encontrados de maneira mais simples apenas por resíduos:
Assim,
Passo 4
De posse dos valores de e , vamos encontrar o valor de :
Passo 5
Agora, só temos que “voltar” para o domínio do tempo. Como há translações no domínio da frequência, aparecerão exponenciais no domínio do tempo.
Assim:
UUUFFAA! Só espero que não venha uma dessas na prova!