Calcule x ( t ) , para t > 0 , usando transformadas de Laplace:

x^(' ') + 4 x^' + 3 x = 4 e^(- t)

x (0) = x^' (0) = 4

Passo 1

Tudo belezinha contigo, “bença”? Comigo tá tuuuuuuuuuuuuudo joia...

Bora começar a resolver equações diferenciais usando transformadas de Laplace. O que precisamos para começar é da relação

L [f^(' ') (t)] = s^2 F (s) - s * f (0) - f^' (0)

Além disso, uma função qualquer genérica k ( t ) tem transformada K ( s ) . No nosso caso, juntando essas duas informações, teríamos

s^2 X (s) - s * x (0) - x^' (0) + 4 [s X (s) - x (0)] + 3 X (s) = 4 * (1)/(s + 1)

=> s^2 X (s) - 4 s - 4 + 4 s X (s) - 16 + 3 X (s) = (4)/(s + 1)

=> [s^2 + 4 s + 3] X (s) - 4 s - 20 = (4)/(s + 1)

=> [(s + 1) (s + 3)] X (s) = (4)/(s + 1) + 4 s + 20

=> X (s) = (4)/((s + 1)^2 ( s + 3 )) + (4 s + 20)/((s + 1) (s + 3)) = G (s) + H ( s )

com

G (s) = (4)/((s + 1)^2 ( s + 3 )) e H (s) = (4 s + 20)/((s + 1) (s + 3))

Passo 2

Agora vamos encontrar as expansões em frações parciais de G ( s ) :

G (s) = (4)/((s + 1)^2 ( s + 3 )) = (A)/((s + 1)^2) + (B)/(s + 1) + (C)/(s + 3)

O Cálculo de A e C podem ser feitos de maneira direta, utilizando o método dos resíduos:

A = ((s + 1)^2 G (s)|_s = - 1 = ((4)/(s + 3)|_s = - 1 = (4)/(- 1 + 3) = (4)/(2) => A = 2

C = ((s + 3) G (s)|_s = - 3 = ((4)/((s + 1)^2)|_s = - 3 = (4)/((- 3 + 1)^2) = (4)/((- 2)^2) = (4)/(4) => C = 1

Para encontrarmos o valor de B , vamos substituir os valores encontrados de A e C na fração parcial e usar um pouco de algebrismo:

G (s) = (4)/((s + 1)^2 ( s + 3 )) = (2)/((s + 1)^2) + (B)/(s + 1) + (1)/(s + 3)

=> (4)/((s + 1)^2 ( s + 3 )) = (2 (s + 3) + B (s + 1) (s + 3) + (s + 1)^2)/((s + 1)^2 ( s + 3 ))

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:

4 = 2 s + 6 + B [s^2 + 4 s + 3] + s^2 + 2 s + 1

=> 4 = 2 s + 6 + B s^2 + 4 B s + 3 B + s^2 + 2 s + 1

=> 4 = (B + 1) s^2 + (4 B + 4) s + ( 3 B + 7 )

Igualando os dois membros, chegamos ao seguinte sistema:

{[[B + 1 = 0],[4 B + 4 = 0],[3 B + 7 = 4]])

Ambas as equações conduzem ao mesmo resultado

B = - 1

Assim, podemos expressar G (s) da seguinte maneira:

G (s) = (2)/((s + 1)^2) - (1)/(s + 1) + (1)/(s + 3)

Passo 3

Agora vamos encontrar as expansões em frações parciais de H ( s ) . A vantagem aqui é que os coeficientes serão encontrados de maneira mais simples apenas por resíduos:

H (s) = (4 s + 20)/((s + 1) (s + 3)) = (D)/(s + 1) + (E)/(s + 3)

D = (( s + 1 ) H (s)|_s = - 1 = ((4 s + 20)/(s + 3)|_s = - 1 = (4 (- 1) + 20)/(- 1 + 3) = (16)/(2) => D = 8

E = ((s + 3) H (s)|_s = - 3 = ((4 s + 20)/(s + 1)|_s = - 3 = (4 (- 3) + 20)/(( - 3 + 1 )) = (- 12 + 20)/(- 2) = - (8)/(2) => C = - 4

Assim,

H (s) = (8)/(s + 1) - (4)/(s + 3)

Passo 4

De posse dos valores de G ( s ) e H ( s ) , vamos encontrar o valor de X ( s ) :

X (s) = G (s) + H (s) = (2)/((s + 1)^2) - (1)/(s + 1) + (1)/(s + 3) + (8)/(s + 1) - (4)/(s + 3)

= (2)/((s + 1)^2) + (7)/(s + 1) - (3)/(s + 3)

Passo 5

Agora, só temos que “voltar” para o domínio do tempo. Como há translações no domínio da frequência, aparecerão exponenciais no domínio do tempo.

L [u (t)] = (1)/(s) e L [t] = (1)/(s^2)

Assim:

f (t) = [ 2 * t * e^(- t) + 7 e^(- t) - 3 e^(- 3 t) ] u ( t )

UUUFFAA! Só espero que não venha uma dessas na prova!

Resposta

f (t) = [ 2 t e^(- t) + 7 e^(- t) - 3 e^(- 3 t) ] u ( t )