O campo magnético no eixo de um circuito circular de corrente (Equação 5.38) está longe de ser uniforme (ele diminui acentuadamente com o aumento de 2). Você pode produzir um campo mais uniforme usando dois circuitos desses a uma distância d um do outro (Figura 5.60).

  1. Encontre o campo (B) como função de z, e mostre que ∂ B / ∂ z é zero no ponto a meio caminho entre eles (z = 0). Agora, se você escolher d corretamente, a segunda derivada de B também irá se anular no ponto médio. Este arranjo é conhecido como bobina de Helmholtz; é uma maneira conveniente de produzir campos relativamente uniformes em laboratório.
  2. Determine d de forma que ∂ 2 B /   ∂ z 2 = 0   no ponto médio e encontre o campo magnético resultante no centro. [Resposta: 8 μ 0 I \ 5 5 R ]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Dado a equação (5.38) que representa o campo magnético em função de z. Temos que derivar em relação a z no ponto médio, ou seja, quando z=o, então vamos lá, temos o campo dado como:

B = μ 0 I R 2 2 1 R 2 + d 2 + z 2 3 2 + 1 R 2 + d 2 - z 2 3 2

Agora basta calcular ∂ B ∂ z , assim:

∂ B ∂ z = μ 0 I R 2 2 ∂ ∂ z   1 R 2 + d 2 + z 2 3 2 + 1 R 2 + d 2 - z 2 3 2 =

= μ 0 I R 2 2 - 3 2 2 d 2 + z R 2 + d 2 + z 2 5 2 + - 3 2 2 d 2 - z - 1 R 2 + d 2 - z 2 5 2  

Agrupando os termos que conseguimos agrupar, temos que:

= 3 μ 0 I R 2 2 - d 2 + z R 2 + d 2 + z 2 5 2 + d 2 - z R 2 + d 2 - z 2 5 2  

Agora quando z=0 temos que:

∂ B ∂ z | = 0 = 3 μ 0 I R 2 2 - d 2 R 2 + d 2 2 5 2 + d 2 R 2 + d 2 2 5 2

Observe que a parte de baixo é idêntica e a parte de cima se anula, assim provamos que:

∂ B ∂ z | = 0 = 0

Passo 2

Agora partimos para letra B, como temos a derivada primeira, fica mais simples. Assim temos que:

∂ ∂ z ∂ B ∂ z = 3 μ 0 I R 2 2 ∂ ∂ z - d 2 + z R 2 + d 2 + z 2 5 2 + d 2 - z R 2 + d 2 - z 2 5 2

= 3 μ 0 I R 2 2 - 1 R 2 + d 2 + z 2 5 2 + - d 2 + z - 5 2 2 d 2 + z R 2 + d 2 + z 2 7 2 + - 1 R 2 + d 2 - z 2 5 2 + d 2 - z - 5 2 2 d 2 - z ( - 1 ) R 2 + d 2 - z 2 7 2

Agora ∂ 2 B ∂ z 2 | = 0 , assim:

∂ 2 B ∂ z 2 | = 0 = 3 μ 0 I R 2 - 1 R 2 + d 2 2 5 2 + d 2 5 d 2 R 2 + d 2 2 7 2 +

Agora colocamos o termo elevado a 7/2 em evidência, assim temos:

∂ 2 B ∂ z 2 | = 0 = 3 μ 0 I R 2 R 2 + d 2 2 7 2 - R 2 - d 2 2 + 5 d 2 4    

Por fim temos que:

∂ 2 B ∂ z 2 | = 0 = 3 μ 0 I R 2 R 2 + d 2 2 7 2 ( d 2 - R 2 )

Para que o termo acima se anule d=R.

Agora vamos calcular o campo magnético em 0.

B = μ 0 I R 2 2 1 R 2 + d 2 2 3 2 + 1 R 2 + d 2 2 3 2 = μ 0 I R 2 R 2 + d 2 2 3 2

Agora como d=R temos que:

B = μ 0 I R 2 5 R 2 4 3 2

Por fim, então temos que:

B = μ 0 I 5 3 2 R

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

  1. Provado no passo 1
  2. R = d ,     B = μ 0 I 5 3 2 R .