O campo magnético de um fio reto infinito pelo qual passa uma corrente estacionaria I pode ser obtido a partir do termo de corrente de deslocamento na lei de Ampère/Maxwell, como segue: imagine que a corrente consiste de uma densidade linear de carga uniforme λ movendo-se ao longo do eixo z à velocidade v (de forma que I = λ v ), com uma minúscula abertura de comprimento ϵ , que chega a origem no tempo t = 0 . No instante seguinte (até t = ϵ / v ) não há corrente real passando por uma espira amperiana no plano x y , mas há uma corrente de deslocamento devido à carga que ‘falta’ na abertura.

(a) Use a lei de Coulomb para calcular o componente z do campo elétrico para os pontos do plano x y a uma distância s da origem, devido a um segmento de fio com densidade uniforme – λ estendendo-se de z 1 = v t - ϵ a z 2 = v t .

(b) Determine o fluxo desse campo elétrico através de um círculo de raio a no plano x y .

(c) Encontre a corrente de deslocamento através desse círculo. Mostre que I d é igual I , no limite em que a largura da abertura ( ϵ ) tende a zero. [Para uma abordagem ligeiramente diferente do mesmo problema, veja W. K. Terry, Am. J. Phys. 50, 742 (1982).]

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, vamos usar o resultado de uma questão anterior e adapta-la, o exercício que vamos aproveitar é o Exemplo 2.2, com as seguintes mudanças. O - L agora é v t - ϵ e o L será v t , assim como x ^ será y ^ e z ^ assume o valor de x ^ . Bora para o exemplo que explicarei o resto!!!

Passo 2

Como definimos no Passo 1, o campo elétrico em z será dada por:

E z = - λ 4 π ϵ 0 1 z 2 + x 2 v t - ϵ v t

E z = λ 4 π ϵ 0 1 x 2 + ( v t - ϵ ) 2 - 1 v 2 t 2 + x 2

Passo 3

O fluxo elétrico é definido por:

Φ E = ∫ E d a

Onde, d a é o círculo de raio a que o enunciado menciona, então:

Φ E = ∫ 0 2 π ∫ 0 a E z s   d s   d ϕ

Φ E = λ 2 ϵ 0 ∫ 0 a 1 s 2 + ( v t - ϵ ) 2 - 1 v 2 t 2 + s 2 s   d s

Φ E = λ 2 ϵ 0 2 a 2 + v t - ϵ 2 - a 2 + v t 2 + 2 v t - ϵ

Passo 4

A corrente de deslocamento é:

I d = ϵ 0 d Φ E d t

I d = λ 2 v ( v t - ϵ ) a 2 + ( v t - ϵ ) 2 - v 2 t v 2 t 2 + a 2 + 2 v

Logo, se o ϵ tende a zero, o primeiro e o segundo termo da chave se anulam.

I d = λ 2 ( 2 v )

I d = λ v = I

Resposta

  1. E z = λ 4 π ϵ 0 1 x 2 + ( v t - ϵ ) 2 - 1 v 2 t 2 + x 2
  2. Φ E = λ 2 ϵ 0 2 a 2 + v t - ϵ 2 - a 2 + v t 2 + 2 v t - ϵ
  3. I d = λ 2 v ( v t - ϵ ) a 2 + ( v t - ϵ ) 2 - v 2 t v 2 t 2 + a 2 + 2 v