O campo magnético fora de um longo fio reto pelo qual passa uma corrente estacionária I é (é claro)

B = μ 0 2 π I s ϕ ^

O campo elétrico dentro do fio uniforme:

E = I ρ π a 2 z ^

Onde ρ é a resistividade e a é o raio (veja os Exemplos 7.1 e 7.3). Pergunta: qual é o campo elétrico fora do fio? Este é um problema famoso, primeiro analisado por Sommerfeld e conhecido na sua versão mais recente como ‘problema de Merzbacher’. A resposta depende de como se completa o circuito. Suponha que a corrente retorna ao longo de um cilindro coaxial aterrado e perfeitamente condutor, de raio b (Figura 7.55). Na região a < s < b , o potencial V ( s ,   z ) satisfaz a equação de Laplace com as condições de contorno

i         V a ,   z = - I ρ z π a 2 ;         i i       V b ,   z = 0

Infelizmente isto não é suficiente para determinar a resposta – ainda precisamos especificar as condições de contorno nas duas extremidades, Na literatura é costume varrer essa ambiguidade para debaixo do tapete simplesmente afirmando (é exatamente isso) que V ( s ,   z ) é proporcional a z : V s ,   z = z f ( s ) . Com base nisso:

(a) Determine V ( s ,   z )

(b) Encontre E ( s ,   z )

(c) Calcule a densidade superficial de carga σ ( z ) no fio.

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, vamos usar a equação cilíndrica de Laplace e aplicar as condições que o enunciado definiu. Depois, para finalizar a questão basta irmos aplicando o resultado da letra (a) em equações pré-definidas. Bora lá!!!

Passo 2

Resolvendo a equação cilíndrica de Laplace para um ϕ independente:

1 s ∂ ∂ s s ∂ V ∂ s + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0

1 s z f ' s + z f ' ' s = 0

z 1 s f ' s + f ' ' s = 0

d d s s f ' s = 0             →                   f ' s s = C

f ' s = C s

Logo:

f s = C ln ⁡ ( s ) + D

Pelas duas condições do enunciado:

i         V a ,   z = - I ρ z π a 2 ;         i i       V b ,   z = 0

Temos:

i i           z f b = 0                                   D = - C ln ⁡ b

i                   z C ln ⁡ a - ln ⁡ b = - I ρ π a 2 z                                               C = - I ρ π a 2 1 ln ⁡ ( a / b )

Portanto, agora podemos definir a função f ( s ) e o potencial:

f s = - I ρ π a 2 1 ln ⁡ a b ln ⁡ s + - I ρ π a 2 1 ln ⁡ a b ln ⁡ b

f s = - I ρ π a 2 l n ⁡ ( s / b ) ln ⁡ ( a / b )

E o potencial:

V s ,   z = - z I ρ π a 2 l n ⁡ ( s / b ) ln ⁡ ( a / b )

Passo 3

O campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico:

E s = - ∂ V ∂ s = z s I ρ π a 2 1 ln ⁡ ( a / b )

E z = - ∂ V ∂ z = I ρ π a 2 l n ⁡ ( s / b ) ln ⁡ ( a / b )

Logo, o campo que o enunciado nos pediu é:

E → s ,   z = I ρ π a 2 1 ln ⁡ a / b z s s ^ + ln ⁡ s b z ^

Passo 4

Para finalizar, o sigma deste exemplo é dado por:

σ z = ϵ 0 E s ( a ,   z )

σ z = ϵ 0 I ρ π a 3 z ln ⁡ ( a / b )

Resposta

  1. V s ,   z = - z I ρ π a 2 l n ⁡ ( s / b ) ln ⁡ ( a / b )
  2. E → s ,   z = I ρ π a 2 1 ln ⁡ a / b z s s ^ + ln ⁡ s b z ^
  3. σ z = ϵ 0 I ρ π a 3 z ln ⁡ ( a / b )