Um capacitor C é carregado até um potencial V e ligado a um indutor L, como mostra esquematicamente Figura 7.38. No tempo t=0 a chave S é fechada. Encontre a corrente no circuito, como função de tempo. Como a sua resposta se altera se um resistor R for incluído em série com C e L?

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Como a corrente I é horária, temos que:

ε = - L d I d t = Q C

Onde, temos que Q é a carga no capacitor e I = d Q / d t , ou seja:

d 2 Q d t 2 = - 1 L C Q

Vamos definir ω = 1 L C   , ou seja:

d 2 Q d t 2 = - ω 2 Q

A solução da EDO acima é conhecida. Então temos que:

Q t = A c o s ω t + B s e n ( ω t )

Porém sabemos que em t=0, Q=CV, assim:

Q 0 = A c o s 0 = C V

Ou seja, A=CV. Temos também que:

I t = d d t Q t = - A ω s e n ω t + B ω c o s ( ω t )

Em t=0, temos que I=0, logo B tem que ser nulo. Então temos que Q(t), pode ser expresso como:

Q t = C V c o s ω t

Passo 2

Agora que temos Q(t), podemos encontrar I. ou seja:

I = d d t Q t

I = d d t   C V c o s ω t

I = - ω C V s e n ω t

Substituindo ω , temos que:

I = - 1 L C   C V s e n 1 L C   t

Ressaltando que se colocarmos um resistor em série como mencionado no enunciado. Teremos uma oscilação amortecida.

Assim, finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

I = - 1 L C   C V s e n 1 L C   t