Uma casca esférica oca tem a densidade de carga para o caso b = 2 a .

ρ = k r 2

Na região a ≤ r ≤ b (Figura 2.25). Encontre o campo elétrico nas três regiões: (i) r < a , (ii) a < r < b , (iii) r > b . Faça um gráfico de E como função de r .

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para acharmos o campo elétrico com a lei de Gauss usamos a fórmula abaixo:

∮ S E . d a = 1 ϵ 0 Q E n

Quer dizer que a integral do campo elétrico em uma superfície fechada é igual a carga envolvida dividida por uma constante. O que precisamos agora é definir a superfície e a carga envolvida. Bora lá!!!

Passo 2

Vamos interpretar a imagem a qual o enunciado se refere:

Podemos notar logo de cara que quando o r < a , a superfície gaussiana será menor que a casca esférica. Então, não teremos carga envolvida e o campo elétrico será zero.

Q E n = 0

E = 0

Passo 3

Agora para a segunda parte da questão teremos carga envolvida.

Então, temos que considerar a superfície gaussiana que será a área superfície de uma esfera. E a densidade foi dada pelo enunciado, o que importa no caso de a < r < b é que os limites da carga envolvida são de a até r . Calculando a carga envolvida como uma integral esférica:

Q E n = k r 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ a r r 2 d r

Q E n = k ( 2 π ) ( 2 ) r r a

Q E n = 4 k π ( r - a )

Substituindo na lei de Gauss.

4 π r 2 E = k 4 π ϵ 0 ( r - a ) r ^

E = k ϵ 0 r - a r 2 r ^

Passo 4

Quando r > b quer dizer que envolvemos toda a casca esférica. Sendo assim, os limites da integral da carga envolvida são de a até b . Calculando a carga envolvida:

Q E n = k r 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ a b r 2 d r

Q E n = k ( 2 π ) ( 2 ) r b a

Q E n = 4 k π ( b - a )

Substituindo na Lei de Gauss.

4 π r 2 E = k 4 π ϵ 0 ( b - a ) r ^

E = k ϵ 0 b - a r 2 r ^

Passo 5

O gráfico de E em relação a r pode ser analisado abaixo:

Resposta

  1. E = 0
  2. E = k ϵ 0 r - a r 2 r ^
  3. E = k ϵ 0 b - a r 2 r ^