Enunciado

Para um circuito equivalente de Thévenin constituindo de uma fonte de tensão V g e uma impedância Z g = R g + j X g ;

A – Mostre que o circuito entrega a potência máxima para a carga Z L = R L + J X L , quando R L = R g e X L = - X g e

B – Mostre que a potência máxima média é entregue para a carga R L quando R L = Z g . Isto é o teorema da transferência de potência máxima para circuito C.A (Em ambos os casos, V g e Z g são fixos e a carga é variável.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Temos que a potência máxima é dada por

V L R M S ∙ I L R M S = S m á x

Nós temos que mostrar que a potência vai ser máxima sob essas condições

S m á x → R L = R g   e   X C = - X g

E para outro caso, que a potência máxima média para a carga R L sob essas condições

P m á x = R L = Z g = R g 2 + X g 2

Agora, vamos responder as questões

Passo 2

A – O circuito vai ficar basicamente dessa forma

Sendo a fonte igual a V g , agora vamos pegar a lei de Ohm, que será igual a

I = V g R L

Logo, é igual a

I = V g R g + R L 2 + X g + X L 2

E no caso, a potência é igual a

P = I 2 R L = V g 2 R L R g + R L 2 + X g + X L 2

A carga complexa é igual a Z L = R L + j X L , como X L e R L são independentes, nós temos que as derivadas parciais podem ser iguais a zero

∂ P ∂ R L = 0   e ∂ P ∂ X L = 0

Agora, vamos derivar parcialmente em relação a X L , com isso, nós obtemos a seguinte configuração

∂ P ∂ X L = R L V g 2 - 2 X g + X L R g + R L 2 + X g + X L 2 2 = 0

Com isso, desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

- 2 X g + X L = 0

Logo, obtemos o seguinte resultado

X L = - X g

Fazendo a substituição na equação da potência, nós temos que

P = R L V g 2 R g + R L 2

Passo 3

B – Vamos derivar parcialmente em relação a R L , nós temos a seguinte configuração

∂ P ∂ R L = V g 2 R g + R L 2 - 2 R L R g + R L R g + R L 4 = 0

Desenvolvendo o termo, nós temos que

R g + R L 2 = 2 R L R g + R L

Com isso, nós temos que

R g + R L = 2 R L → R g = R L

A potência média máxima (para a carga resistiva) é igual a

P = R L V g 2 R g + R L 2 + X g

Agora se tem uma derivada um pouco maior

∂ P ∂ R L = V g 2 R g + R L 2 - 2 R g + R L R L R g + R L 2 + X g 2 2 = 0

Logo, nós temos que

R g 2 + 2 R g R L + R L 2 + X g 2 - 2 R g R L - 2 R L 2 = 0

Fazendo alguns cortes, nós obtemos o seguinte resultado

R g 2 + X g 2 = R L 2 → R L = R g 2 + X g 2

Logo,

R L = Z g

Resposta

D e m o n s t r a d o   a c i m a

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49- Determine a potência complexa para os seguintes casos: a ) P = 4k W ,F P = 0.86 (atrasado)
46- Para os fasores de tensão e corrente a seguir, calcule a potência complexa, a potência aparente, a potência real e a potência reativa. Especifique se o F P está adiantado ou atrasado. b )V = 250∠
47- Para cada um dos casos a seguir, determine a potência complexa, a potência média e a potência reativa: a v t = 112 cos ⁡ ω t + 10 ° V; i t = 4 cos ⁡ ω t - 50 ° A
49- Determine a potência complexa para os seguintes casos: b ) S = 2k V A , P = 1.6k W (capacitivo)
46- Para os fasores de tensão e corrente a seguir, calcule a potência complexa, a potência aparente, a potência real e a potência reativa. Especifique se o F P está adiantado ou atrasado. a )V = 220∠