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Enunciado

Elétrica - Introdução a Análise de Circuitos, de Boylestad- Ed: 10º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 33

Para o circuito da figura 10.93:

a) Calcule v c , i c , v R 1 para 0.5s e 1s após a chave ser colocada na posição 1

b) A chave fica na posição 1 durante 10min e depois é colocada na posição 2. Quanto tempo, após a chave ser colocada na posição 2 passará até que ac corrente i c atinja o valor de 8 μ A ? Mais quanto tempo passará até que a tensão v c atinja o valor de 10V?

Passo 1

Primeiro, vamos calcular τ :

τ = R C = 0.2 s

Vamos calcular agora i c para 0.5s lembrando da fórmula:

i c = E R 1 ( e - t / τ ) = 60 μ ( e - 0.5 / 0.2 ) = 4.925 μ A

Vamos fazer o mesmo para o tempo de 1.0s:

i c = E R 1 ( e - t / τ ) = 60 μ ( e - 1.0 / 0.2 ) = 0.404 μ A

Agora vamos calcular v c para 0.5s, lembrando da fórmula:

v c = E ( 1 - e - t / τ ) = 60 ( 1 - e - 0.5 / 0.2 ) = 55.07 V

Fazendo a mesma coisa para 1.0s:

v c = E ( 1 - e - t / τ ) = 60 A ( 1 - e - 1.0 / 0.2 ) = 59.59 V

Olhando para o circuito vemos que a tensão no resistor R1 é a tensão da fonte menos a tensão do capacitor. Primeiro para 0.5s e usando os valores que já temos de v c :

v R 1 = E - v c = 60 - 55.07 = 4.93 V

Fazendo a mesma coisa para 1.0s:

v R 1 = E - v c = 60 - 59.59 = 0.41 V

Passo 2

Vamos recalcular o τ para o momento de descarga:

τ = ( R 1 + R 2 ) C = 1 s

Vamos usar a mesma equação de i c que usamos no item anterior, só que agora a corrente descarrega através de R1+R2:

i c = E R 1 + R 2 ( e - t / τ ) = 12 μ A ( e - t / 1 ) = 12 μ A ( e - t )

Substituindo agora o valor de corrente que queremos encontrar o tempo e jogando o 12 pro outro lado da equação:

8 μ 12 μ = ( e - t ) → 0.866 = ( e - t )

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

l o g e ( 0.866 ) = l o g e ( e - t ) → - 0.143 = - t

Trocando o sinal de t e do lado esquerdo na equação chegamos no tempo que queremos descobrir:

t = 0.143 s

Passo 3

Para descobrir o momento onde a tensão v c caia para 10V vamos usar a equação de descarga:

v c = E ( e - t / τ )

Como já descobrimos o τ no passo anterior basta substituir nossos valores:

10 V = 60 V ( e - t / 1 )

Jogando o 60V para a esquerda:

10 V 60 V = e - t → 0.166 = e - t

Aplicando o log natural igual fizemos antes:

l o g e ( 0.166 ) = l o g e ( e - t ) → - 1.79 = - t

Trocando o t de sinal chegamos no resultado:

t = 1.79 s

Resposta

a) Para 0.5s: v c = 55.07 V , i c = 4.925 μ A , v R 1 = 4.93 V

Para 1.0s: v c = 59.59 V , i c = 0.404 μ A , v R 1 = 0.41 V

b) t = 0.143 s , t = 1.79 s