Enunciado

No circuito da Figura 13.97 , determine o valor de X que resultará na máxima transferência de potência para a carga de 20   Ω .

Passo 1

Galera, da teoria nós sabemos que:

R L = | Z t h |

Isso significa que para a máxima transferência de potência para uma carga puramente resistiva, a impedância da carga é igual ao módul oda impedância de Thevenin. Portanto, nós vamos obter a impedância de Thevenin vista pelo resistor de 20   Ω e depois vamos usar a relação acima para obter o valor de X .

Assim, vamos aplicar a lei das malhas, iniciando pela malha da esquerda:

8 - j X + j 12 I 2 - j 10 I T = 0

I 2 = j 10 8 + j ( 12 - X ) I T … ( 2 )

Para a malha da direita,

V T = j 15 I T - j 10 I 2 … ( 2 )

Substituindo ( 1 ) em ( 2 ) , temos:

V T = j 15 I T - j 10 × j 10 8 + j 12 - X I T

V T = j 15 + 100 8 + j 12 - X I T

V T = 15 X - 180 + j 120 + 100 8 + j 12 - X I T

Passo 2

A impedância de Thevenin é igual a:

Z t h = V T I T = 15 X - 180 + j 120 + 100 8 + j 12 - X

Para a máxima transferência de potência,

Z t h = 20   →   15 X - 80 2 + 120 2 8 2 + 12 - X 2 = 20 2 … ( 3 )

225 X 2 - 2400 X + 6400 + 14400 = 15600 + 57600 - 9600 X + 400 X 2

175 X 2 - 7200 X + 62400 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau, temos:

X = 28,73   Ω   o u   X = 12,4   Ω

Vamos substituir esses valores na equação ( 3 ) para encontrarmos o valor certo de X :

15 × 28,73 - 80 2 + 120 2 8 2 + 12 - 28,73 2 ≈ 400

15 × 12,4 - 80 2 + 120 2 8 2 + 12 - 12,4 2 = 399,56 ≈ 400

Resposta

X assume os seguintes valores:

X = 28,73   Ω   o u   X = 12,4   Ω

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