O circuito da Figura P 4.8-1 possui duas entras, as fontes de tensão v 1 e v 2 . O circuito possui uma saída, a fonte de tensão dependente v o . Projete o circuito para que a saída esteja relacionada à entrada através da equação

v o = 2 v 1 + 0.5 v 2

Passo 1

Faaala, pessoal!! Bora pra mais uma. Aqui vamos utilizar a análise nodal para determinar os valores pedidos. Aplicando a LKC no nó central, teremos:

v a - v 1 R 1 + v a - v 2 R 2 + v a R 3 + v a - A v a R 4 = 0

Rearrumando para encontrarmos uma relação entre v a , v 1 e v 2 , teremos:

v a = 1 R 1 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + 1 - A R 4 v 1 + 1 R 2 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + 1 - A R 4   v 2                     ( 1 )

Se quisermos encontrar um resistor equivalente para a expressão do denominador:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + 1 - A R 4  

Rearrumando, podemos encontrar uma expressão para A:

A = 1 + R 4 R 1 + R 4 R 2 + R 4 R 3 - R 4 R

Sendo que R será uma resistência que determinaremos depois, podemos substituir o resistor equivalente R na expressão (1):

V a = 1 R 1 R v 1 + 1 R 2 R v 2 = R R 1 v 1 + R R 2 v 2

Como v o = A v a , teremos:

v o = A R R 1 v 1 + A R R 2 v 2

Passo 2

Agora que encontramos expressões para as constantes, podemos igualá-las ao valor do enunciado:

A R R 1 = 2

A R R 2 = 0.5

Dessas relações, podemos concluir que:

R 2 = 4 R 1

Para simplificar, vamos escolher resistores iguais para R 2 = R 3 = R 4 , por tanto teremos:

A = 1 + 4 + 1 + 1 - 4 R 1 R = 7 - 4 R 1 R

Passo 3

Agora, poderemos fazer a seguinte igualdade:

2 = A R R 1 = 7 - 4 R 1 R R R 1 = 7 R - 4 R 1 R 1

Rearrumando, teremos:

2 R 1 = 7 R - 4 R 1

R = 6 7 R 1

Substituindo o valor de R na expressão de A, teremos:

A = 7 - 4 R 1 R = 7 - 4 R 1 6 7 R 1 = 7 3

Passo 4

Agora que encontramos um valor para A, basta escolher um valor para R 1 e determinaremos os outros resistores. Escolhendo R1 = 20 Ω, teremos:

A = 1 + R 4 R 1 + R 4 R 2 + R 4 R 3 - R 4 R

A = 1 + R 4 R 1 + R 4 R 2 + R 4 R 3 - R 4 R 1

Substituindo os valores:

7 3 = 1 + R 2 20 + R 2 R 2 + R 2 R 2 - R 2 6 7 20

Chegaremos a:

R 2 = 80   Ω  

E como R 2 = R 3 = R 4 , teremos:

R 2 = R 3 = R 4 = 80   Ω

Resposta

A = 7 3

R 1 = 20   Ω

R 2 = R 3 = R 4 = 80   Ω