Enunciado

O circuito da Figura 8.123 é um modelo elétrico das funções corpóreas usadas em faculdades de medicina para estudo de convulsões. Esse modelo tem as seguintes características:

  • C 1 = Volume de fluido em um medicamento
  • C 2 = Volume do fluxo sanguíneo em determinada região
  • R 1 = Resistência oferecida pela entrada do fluxo sanguíneo durante a passagem do medicamento
  • R 2 = Resistência do mecanismo de excreção, como rins, etc.
  • v 0 = Concentração inicial da dosagem do medicamento
  • v ( t ) = Porcentagem de medicamento presente no fluxo sanguíneo

Determine v ( t ) para t > 0 , dado que C 1 = 0,5   μ F , C 2 = 5   μ F ,   R 1 = 2,5   M Ω e v 0 = 60 u t   V .

Passo 1

Pessoal, quando t ≤ 0 , a função degrau é igual a zero. Assim,

v 0 0 = v 0 = 0 … 1

Quando t > 0 , a chave é fechada e aplicando a lei dos nós no nós entre R 1 e R 2 :

- i R 1 + i R 2 + i C 2

i R 1 = i R 2 + i C 2

v 0 - v R 1 = v R 2 + C 2 d v d t

Multiplicando a equação toda por R 1 :

v 0 - v = R 1 v R 2 + R 1 C 2 d v d t

v 0 = v 1 + R 1 R 2 + R 1 C 2 d v d t

Substituindo os valores,

v 0 = v 1 + 5 2,5 + 5 × 10 6 × 5 × 10 - 6 d v d t

v 0 = 3 v + 25 d v d t … ( 2 )

Passo 2

Quando o circuito atinge o regime permanente, o capacitor atua como um circuito aberto e não há corrente passando por ele. Assim,

i C 2 = C 2 d v d t = 0

Logo,

d v d t = 0

Substituindo na equação ( 2 ) :

v 0 = 3 v + 25 × 0

v 0 = 3 v S … ( 3 )

Onde v S é a tensão em regime permanente no capacitor. Como em t > 0 o degrau unitário é igual a 1 ,

v 0 = 60 u t = 60   V

60 = 3 v S

v S = 20   V

Passo 3

A tensão v ( t ) no capacitor é dada por:

v t = v S + A e - t / τ … ( 4 )

A resistência equivalente do circuito é:

R e q = R 1 R 2 R 1 + R 2 = 5 × 2,5 5 + 2,5 = 5 3   M Ω

A constante de tempo para o capacitor C 2 é dada por:

τ = R e q C 2 = 5 × 10 6 3 × 5 × 10 - 6 = 25 3   s

Substituindo na equação ( 4 ) ,

v t = 20 + A e - 3 t 25

Quando t = 0 ,

v 0 = 20 + A

Lá na equação ( 1 ) , escrevemos que v 0 = 0 . Assim,

A = - 20

Substituindo o valor de A em ( 4 ) ,

v t = 20 - 20 e - 3 t 25

v t = 20 1 - e - 3 t 25   V ,   t > 0

Resposta

𝐴 tensão é igual a:

v t = 20 1 - e - 3 t 25

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Suponha que o indutor, no circuito mostrado na Figura 8.1, tenha um valor de 10 mH. A resposta de tensão para t ≥ 0 é v t = 40 e - 1000 t - 90 e - 4000 tV . a) Determine os valores numéricos de ω 0 ,
O indutor no circuito da Figura P8.14 é aumentado para 80 mH. Determine v 0 ( t ) para t ≥ 0 .
O resistor no circuito da Figura P8.11 é reduzido de 50 Ω para 32 Ω . Determine v 0 ( t ) para t ≥ 0 .
As duas chaves no circuito visto na Figura P8.11 funcionam de modo sincronizado. Quando a chave 1 está na posição a , a chave 2 está na posição d . Quando a chave 1 passa para a posição b , a chave 2
A chave no circuito da Figura P8.14 esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0, ela passa instantaneamente para a posição b . Determine v 0 ( t ) para t ≥ 0 .