21.Para o circuito da figura 10.84

a) Determine a constante de tempo do circuito quando a chave é colocada na posição 1.

b) Determine a expressão matemática para tensão entre os terminais do capacitor após a chave ter sido colocada na posição 1.

c) Determine a expressão matemática para a corrente depois que a chave é fechada (posição 1).

d)Determine a tensão υ c e a corrente i c se a chave é colocada na posição 2 em t = 100   m s

e) Determine as expressões matemáticas para tensão υ c e a corrente i c se a chave for colocada na posição 3 em t = 200   m s .

f) Trace as formas de υ c e i c para o intervalo de t = 0 até t = 300   m s .

Figura 10.84

Passo 1

Oi pessoal! Sei que esse é um momento de imaginação que te faz enxergar o circuito acima como isso

Mas não se desespere! Vamos bem devagar…

Assim como na maior parte dos problemas, vamos começar anotando as informações:

R 1 =   3   k Ω   → 3 x   10 3 Ω

R 2 =   2   k Ω   → 2 x   10 3 Ω

E =   50 V

C =   2   μ F   → 2   x   10 - 6   F

E aproveitando para fazer as devidas conversões.

Passo 2

a) Esse primeiro passo é igual ao desenvolvido no problema 19, onde temos dois resistores em série. Então, para calcular a constante de tempo τ , temos primeiro que calcular a resistência equivalente do circuito.

R e q = R 1 + R 2

R e q = 2 + 3   k Ω =   5   k Ω

R e q =   5   x   10 3   Ω

Passo 3

Agora podemos calcular a constante de tempo:

τ =   5   x   10 3 ∙   2   x   10 - 6  

τ =   10   x   10 - 3   s   =   10   m s

Passo 4

b) A expressão matemática para a tensão υ c para a constante de tempo de terminada no item anterior, é dada por:

υ c =   E ∙ 1   -   e - t τ

Agora, basta inserir as informações que temos sobre o problema, assim chegamos à:

υ c =   50   ∙ 1   -   e - t 10   x   10 - 3

Ainda é bem parecido com os problemas anteriores, não é mesmo?

Passo 5

c) A expressão matemática para a corrente quando a chave estiver na posição 1, é representada por:

i c = E R ∙ e - t τ

Inserir as informações que temos até o momento, chegamos à:

i c = 50 5   x   10 3 ∙ e - t 10   x   10 - 3 A

i c = 10   x   10 - 3 ∙ e - t 10   x   10 - 3   A

i c = 10   ∙ e - t 10   x   10 - 3 m   A

Ainda bem simples! 😉

Passo 6

d) Agora vamos fazer um desvio da nossa receitinha dos problemas anteriores, pois agora teremos um valor para t. Logo, para determinar a tensão υ c e a corrente i c , para chave na posição 2 em t = 100   m s , temos a exponencial descrita por:

e -   t τ   → e -   100 10   → e -   10  

Perceba que fiz apenas uma substituição dos valores de t e τ . Desta forma, temos:

e -   10 =   45,4   x   10 - 6

Passo 7

Ainda no item d- utilizaremos o valor encontrado para exponencial, para determinar a tensão υ c e a corrente i c , usando as equações encontras nos itens (b) e (c).

υ c =   50   ∙ 1   - 45,4   x   10 - 6  

υ c ≈   50   V

Agora, para a corrente, temos a expressão:

i c = 10   x   10 - 3 ∙ 45,4   x   10 - 6     A  

i c = 0,454     μ A

Nada difícil! Apensas substituição de valores.

Passo 8

e) Agora as expressões matemáticas para tensão υ c e a corrente i c , para a chave na posição 3 em t = 200   m s , teremos que calcular a constante de tempo para essa nova configuração de circuito, pois a resistência 1, deixou de ser importante para o problema, nesta situação.

τ ' =   2   x   10 3 ∙   2   x   10 - 6  

τ ' =   4   x   10 - 3   s   =   4   m s

Agora basta inserir o novo valor da constante de tempo, nas equações já trabalhadas nos itens b e c. Sendo assim, temos a tensão:

υ c =   - 50   ∙ 1   -   e - t 4   x   10 - 3 V

Para a corrente, há considerações a serem feitas: o sentido da corrente se inverte, logo, haverá um sinal contrário para a corrente, expressa por:

i c = - 50 2   x   10 3 ∙ e - t 4   x   10 - 3   A

i c = - 25   x   10 - 3 ∙ e - t 4   x   10 - 3   A

i c = - 25   ∙ e - t 4   x   10 - 3 m A

Foram mudanças pequenas na análise, mas que precisam de atenção!

Passo 9

Ainda no item e – Vamos inserir nas equações da corrente e da tensão a informação do intervalo de tempo t = 200   m s . Assim obtemos:

υ c =   50   ∙ 1   -   e - 200 4     → υ c ≅   50   V

i c = - 25   ∙ e - 200 4   A →   i c = - 1,93   x 10 - 22   A

Passo 10

f) Trace as formas de υ c e i c para o intervalo de t = 0 até t = 300   m s .

Lembrando que estamos caracterizando um processso de descarga do capacitor!

Resposta

a)   τ =   10   x   10 - 3   s   =   10   m s

b) υ c =   50   ∙ 1   -   e - t 10   x   10 - 3

c) i c = 10   ∙ e - t 10   x   10 - 3 m   A

d) υ c ≈   50   V ; i c = 0,454     μ A

e) υ c ≅   50   V       ;       i c = - 1,93   x 10 - 22   A